Понятие о кривых второго порядка

Гипербола
Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости,модуль разности расстояний от которых до двух данных точек  есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между  ). Точки  называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов  обозначим через а. По условию, а <с. Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение: = 1 Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2a.

По определению |F1M | − |F2M | = 2a (рис. 5),т.е.

= 2a.
Упрощая выражения и полагая = − , (c − a), получим каноническое уравнение гиперболы = 1. Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки (a;0) и (−a; 0) называются вершинами гиперболы, a называется дейст-вительной фокальной полуосью гиперболы, b – мнимой полуосью. Асимптотой кривой называется такая прямая, расстояние до которой от точек линии кривой стремится к нулю при x → +∞.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых y = ± x
Для построения гиперболы, как и для эллипса, строят прямоугольник. Прямые, проходящие через вершины этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы.
Чертим гиперболу, помня, что она проходит через точки
и и асимптотиче приближается к прямым y = ± x
Эксцентриситет гиперболы ε = > 1
т.к. C = , c > a.
Уравнение
− = 1 (6)
Также является уравнением гиперболы (рис. 6), где a - снимая
полуось, b - действительная. Такая гипербола называется
сопряжённой: = 1

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки  , пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы. Величины а и б называются полуосями гиперболы. Если а=б, то гипербола называется равносторонней.

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равно удаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой  (директрисы).Для вывода канонического уравнения параболы ось Ох проводят через фокус F перпендикулярно директрисе  в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом F и точкой D пересечения оси Ох с директрисой.
= 2px это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Из уравнения видно, что л: может принимать только неотрицательные значения. Значит, на рисунке вся парабола располагается справа от оси Оу. Так как уравнение содержит у только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси Ох и поэтому достаточно рассмотреть ее форму в первой четверти. В этой четверти .При неограниченном возрастании x неограниченно растет и у. Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии. Сделаем рисунок параболы Параболой называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Пусть директриса параболы есть прямая x = − , а фокус F ( ; 0), тогда по определению
|KM | = |F M | = = . (7)