|
Kvant gipotezasi. Plank formulasi
U(ω,T)dω=kTdn
∞
=(ω
2
/π
2
/ c
3
)kTdω yoki U(ω,T)=(ω
2
/π
2
/ c
3
)kT;
f(ω,T)=(ω
2
/π
2
/c
3
)kT Reley–Jins formulasining isboti klassik nuqtai-nazardan
bexato hisoblanadi. Shuning uchun bu formulaning tajribaga mos kelmasligi
klassik statistik fizika va elektrodinamika tasavvurlariga to‟g‟ri kelmaydigan
qandaydir boshqa qonuniyatlarning mavjudligini ko‟rsatdi.
1900 yilda Plank f(ω,T) funksiyaning tajriba natijalariga aniq mos keluvchi
ko‟rinishni topishga muvaffaq bo‟ldi. Buning uchun u klassik tasavvurlarga
mutlaqo zid bo‟lgan farazni ilgari surgan, ya‟ni elektromagnit nurlanish alohida ε
energiya porsiyasi (kvant) shaklida tarqaladi deb faraz qilishga majbur bo‟ldi.
Kvant miqdori nurlanish chastotasiga proporsional: ε=hω
(18)
Proporsionlalik koeffisenti h keyinchalik Plank doimiysi deb ataldi.
Uning tajribadan olingan qiymati:
h=1,054·10
34
j.sek=1,054·10
-27
erg. Sek.
Mexanikada “energiya*vaqt” o‟lchamlariga ega bo‟lgan kattalikni ta’sir deb
ataladi. Plank doimiysini ba‟zida ta’sir kvanti deb ataladi. h o‟lchamligi impul‟s
momentining o‟lchami bilan bir xil. Agar nurlanish hω porsiya shaklida
chiqarilayotgan bo‟lsa, unda ε
n
qiymatini olish ehtimoli P
n
quyidagi ifodadan
aniqlanadi:
P
n
= Ae
(19)
Normallovchi A ko‟paytuvchining hamma P
n
larning yig‟indisi birga teng
bo‟lishlik shartlaridan topish mumkin. Bu erdan A ning topilgan qiymatini (19)
formulaga qo‟yib, quyidagiga ega bo‟lamiz: nurlanishning berilgan spektral tashkil
etuvchisining energiya miqdorini istalgan vaqtda o‟lchay olamiz deb faraz qilaylik.
Bunday o‟lchashlarni teng ∆t vaqtlar oralig‟ida juda ko‟p o‟tkazamiz. Olingan
qiymatlarning yig‟indisini o‟lchashlar soni N ga teng bo‟lib, energiyasining vaqt
bo‟yicha ε o‟rtacha qiymatini topamiz. N juda katta bo‟lganda ε
n
natijani beruvchi
N
n
o‟lchashlar soni NP
n
ga teng bo‟ladi. shuning uchun:
ω chastotali nurlanish energiyasining o‟rtacha qiymati quyidagi ifodadan
aniqlanadi:
hisoblashlar uchun hω/kT=x belgi kiritib, x uzluksiz qator qiymatlar qabul qilib
o‟zgara olishi mumkin deb faraz qilaylik. U vaqtda ε ning ifodasini quyidagi
ko‟rinishda yozish mumkin: logarifm belgisi ostida birinchi hadi birga va mahraji
e
-x
ga teng bo‟lgan cheksiz geometrik progressiya hadlarining yig‟indisidan iborat
ifoda turibdi. Maxraj birdan kichik bo‟lgani uchun progressiya kamayuvchi bo‟ladi
va algebradan ma‟lum bo‟lgan formulaga asosan: Yig‟indining bu qiymatiniga
qo‟yib differensiyallasak hosil bo‟ladi.
Oxirida x ni uning hω/kT qiymati bilan almashtirib ω chatotali nurlanishning
o‟rtacha energiyasi uchun quyidagi eng oxirgi ifodaga ega bo‟lamiz:
h holga intilganda (26) formula klassik ε=kT ifodaga o‟tib qolishini qayd qilib
o‟tamiz. Bunda e
hω/kT
≈1+hω/kT deb olib, h qanchalik kichik bo‟lsa uning
shunchalik aniq bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkin bo‟ladi. shunday qilib,
agar energiya uzluksiz qiymatlar qatorini qabul qila olganda edi, uning o‟rtacha
qiymati kT ga teng bo‟lar edi.
Reley-Jins formulasida kTni (26) ifoda bilan almashtirib, Plank topgan formulani
hosil qilamiz:
bu formula avval qayd qilganimizdek chastotaning 0 dan ∞ gacha bo‟lgan hamma
intervalida tajriba natijalariga aniq mos keladi. U Vinning f(ω,T)=ω
3
F(ω/T)
kriteriysini qanoatlantiradi.
hω/kT<<1 shart bajarilganda e
hω/kT
ni taqriban 1+hω/kT ga teng deb olish mumkin,
natijada (27) formula Reley-Jins formulasiga o‟tadi.
Bu ko‟rsatilgan sharoitda (26) ifodaning kT ga taxminan teng bo‟lishidan ham
bevosita kelib chiqadi. (13) formula bo‟yicha almashtirish o‟tkazib,
(28) ni hosil qilamiz. (27) va (28) funksiyalarining birgina 5000
0
K temperatura
uchun chizilgan grafiklarini taqqoslaymiz. Absissa o‟qi bo‟ylab logarifmik
masshtab oligan bo‟lib, bir-birlari bilan λ=2πc/ω munosabat orqali bog‟langan λ va
ω ning qiymatlari o‟zaro moslangan. Rasmdan f(ω,T) ning maksimumiga to‟g‟ri
keluvchi ω
m
chastota 2πc/λ
m
bilan mos tushmasligi ko‟rinib turibdi. Bu erda λ
m
-
φ(λ,T) ning maksimumiga to‟g‟ri kelgan to‟lqin uzunligi. (27) ifodadan absalyut
qora jismning energiyaviy yorituvchanligi uchun quyidagi ifoda hosil bo‟ladi: ω
ning o‟rniga o‟lchamsiz x= hω/kT o‟zgaruvchini kiritamiz. ω=(kT/h)x,
dω=(kT/h)dx larni kiritish R
e
ning formulasini quyidagi ko‟rinishga olib keladi:
Keyingi ifodadagi aniq integralni hisoblab chiqarish mumkin. U π
4
/15 ≈ 6.5 ga
teng. uning qiymatini o‟z o‟rniga qo‟yib, Stefan-Bol‟sman qonunini hosil qilamiz/;
Klassik nazariyga zid bo‟lgan gipotezaga tayanib chiqarilgan Plank formulasi
absalyut qora jismning nur chiqarish qobiliyatini ifodalovchi universial
funksiyani, hamda absalyut qora jism nurlanishining empirik qonunini tushintiradi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
