Poincare parametrining kichik usuli bilan topilgan davriy echimlarning barqarorligini o'rganish bir qator xususiyatlarga EGA. A. M

ОБОРУДОВАНИЕ, МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ, МЕХАНИКА И ...


В ряде случаев достаточно эффективны классические способы разложения решений по степеням малого параметра, связанные с именами Остроградского, Ньюкома, Линдштедта, А. Пуанкаре, Ляпунова и А. Н. Крылова 2). А. М. Ляпунов и А. Н. Крылов усовершенствовали классический метод разложения по степеням малого параметра. Это позволяет назвать метод их именами. [c.297]

Исследование устойчивости периодических решении, найденных методом малою параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова (35J, решение вопроса об устойчивости зависит от характера решении системы уравнений в вариациях для уравнений (40) и решения (42) [c.54]

Заметим, что метод гармонического баланса в случае малой нелинейности, когда / (х, х) = k x + e/i (х, х) (к — постоянная, е — малый параметр) приводит к тем же результатам, что и метод эквивалентной линеаризации (см. п. 4), а также метод гармонической линеаризации [52]. Таким образом прослеживается прямая связь этого метода с методом усреднения подробно данный вопрос разобран в книгах 1 12, 40]. С другой стороны, можно проследить связь метода гармонического баланса с методом Бубнова-Галеркина (см. п. 12), а также с методом малого параметра Пуанкаре (см. п. 3) эти связи указаны в монографиях [34, 58]. [c.99]

Для отыскания периодических решений, на наш взгляд, более естественно использовать уравнения движения в гамильтоновой форме. Для канонических систем дифференциальных уравнений метод малого параметра Пуанкаре хорошо разработан и дает более сильные результаты. Эта идея впервые реализована в работе [34] для случая вращения динамически симметричного тела в ньютоновском поле сил и независимо автором [38] в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела. [c.106]

Исследования Ковалевской, Ляпунова и других авторов в динамике твердого тела показали, что общее решение уравнений движения представляется однозначными функциями времени только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, как раз тогда, когда существует дополнительный однозначный интеграл. Долгое время оставалось неясным, является ли это обстоятельство случайным совпадением, или же в его основе лежат какие-либо глубокие причины. В этой главе методом малого параметра Пуанкаре доказано, чго именно существование бесконечного числа неоднозначных решений препятствует появлению нового однозначного аналитического интеграла в общем случае. [c.107]

Наряду с методом малого параметра Пуанкаре (см. 1), известен еще один эффективный прием исследования ветвления решений аналитических систем дифференциальных уравнений он предложен А. М. Ляпуновым в 1894 г. [118] и основывается на изучении уравнений в вариациях известных частных решений. [c.357]

Первая проблема состоит в построении периодических движений. Обычный метод ее решения связан к переходу к отображению Пуанкаре и отысканию его неподвижных точек. Для этого используются либо топологические методы (теоремы Брауэра и Банаха), либо асимптотические методы типа метода малого параметра Пуанкаре. Обзор методов построения периодических решений гладких систем можно [c.243]

В качестве примера для синхронных двигателей можно привести критерии запаса по удаленности номинального режима работы двигателя от несинхронных скоростей вращения. В качестве другого примера можно привести критерий оценки отклонения скорости вращения от синхронной при питании несинусоидальным напряжением на основе метода малого параметра Пуанкаре. Укажем также критерий колебательности переходных процессов в районе синхронной [c.193]

Применяя к системе (5.31) метод малого параметра Пуанкаре, можно представить ее решение сходящимся по 8 рядом [c.124]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

Наиболее просто выполнить решение методом разложения по малым параметрам (Пуанкаре). [c.297]

Основные идеи метода. Случай неавтономной системы, близкой к произвольной нелинейной. Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века [56]. Первостепенную роль при использовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период А. М. Ляпуновым [35]. [c.51]

Большинство методов малого параметра (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли при решении конкретных задач механики и физики, а затем были развиты и обобщены. Впоследствии многие из этих методов получили математическое обоснование например асимптотические методы нелинейной механики, а также метод усреднения обоснованы в работах Н. М Крылова и И. И. Боголюбова [II, 32]. [c.65]

Как правило, правые части уравнений (2) таковы, что после подстановки вместо и Ир их выражений (1), соответствующих синхронным движениям, эти правые части становятся периодическими функциями безразмерного времени т = at с периодом 2я. В результате основная задача о синхронизации сводится к установлению условий существования и устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих (в наиболее важном случае слабо связанных объектов) малый параметр ц. Это обстоятельство позволяет использовать для решения задач о синхронизации эффективные методы малого параметра, изложенные в гл. II, в частности, методы Пуанкаре и Ляпунова. Дальнейшее изложение существенно опирается на материал п.3 гл. II. [c.218]

Наибольшее распространение при аналитических рассмотрениях нелинейных задач получили, пожалуй, так называемые асимптотические методы и их модификации. Особен но развиты они в применении к системам обыкновенных уравнений [12]. Стал уже класси ческим метод малого параметра, развитый Ляпуновым и Пуанкаре. Широко применяются асимптотические методы усреднения и разделения движений на быстрые и медленные 12]. Ряд модификаций асимптотических методов развивается и применительно к решению нелинейных уравнений с частными производными. Характерной и наиболее часто исполь зуемой конструкцией для представления решений u x,t) является регулярный ряд вида [c.18]

Теории колебаний, качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем удалось полностью исследовать лишь двумерные системы, а стохастические автоколебания возможны только у систем размерности, не меньшей трех. Методы малого параметра А. Пуанкаре [243, 244] и асимптотические методы Н. М. Крылова — Н. Н. Боголюбова [92], применимые к системам любой размерности, не позволяли обнаружить стохастические движения, если их не было у порождающей системы, что связано с нестепенным порядком малости областей существования стохастических движений по малому параметру. [c.81]

Применяя этот метод, приходится заменять нелинейные члены в граничных условиях линеаризованными членами в смысле теории гармонического баланса или, например, использовать метод периодических решений Пуанкаре (метод малого параметра) в форме Витта [И]. Метод Фурье при указанном его видоизменении позволяет исследовать устойчивость системы, найти условия возникновения автоколебаний, определить амплитуду и частоту автоколебаний и т. д. [c.130]

Таким важным проблемам, возникшим в небесной механике, как вопросы существования новых аналитических (а не только алгебраических) первых интегралов, отыскание периодических решений с помощью метода малого параметра А. Пуанкаре и методов вариационного исчисления в целом, расщепление сепаратрис, в динамике твердого тела не было уделено должного внимания. [c.12]

Правда, есть ряд работ, посвященных нахождению периодических решений методом малого параметра (см., например, обзорную статью [37]). Однако эти работы не исчерпывают всех возможностей, которые даст метод А. Пуанкаре. [c.12]

Как уже отмечалось, исследование движения твердого тела при малых значениях параметра /х математически эквивалентно изучению быстрых вращений то есть случаю, когда Ш). Мы коснемся здесь лишь вопросов, связанных с применением метода малого параметра А. Пуанкаре. [c.106]

Мы будем рассматривать случай, когда параметр мал. Для поиска периодических решений уравнения (1.1) можно воспользоваться методом малого параметра, разлагая эти решения в сходящиеся ряды по степеням . Представление уравнения (1.1) в виде гамильтоновой системы (1.2) позволяет воспользоваться теорией Пуанкаре рождения пар невырожденных периодических решений, развитой им в главах I и III знаменитых Новых методов небесной механики [9]. [c.235]

Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века. [c.157]

Первыми отечественными работами, в которых был эффективно использован метод малого параметра для решения важных в принципиальном и прикладном отношении задач теории нелинейных колебаний, были уже упоминавшиеся исследования Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1930—1950) и А. А. Андронова и А, А. Витта (1930—1955). Эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, хотя обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс и-го рода , затягивание и захватывание автоколебаний) носят универсальный характер (см. 10 обзора Прикладные проблемы теории колебаний , стр. 101—109). Следует отметить также интересную работу Б. В. Булгакова (1942), посвященную применению метода Пуанкаре к исследованию колебаний в квазилинейных системах. [c.161]

Подчеркнем, что при использовании методов малого параметра (метода Пуанкаре или метода Понтрягина) не дается пл1 а-ких оценок для тех значений (я, при которых у системы (А ) существуют предельные циклы. [c.260]

Из теоремы А. М. Ляпунова, рассмотренной в предыдущем разделе, вытекает, как частный случай, одна теорема Пуанкаре, доказанная знаменитым французским ученым независимо от Ляпунова и являющаяся основой широко известного метода малого параметра . [c.49]

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА А. ПУАНКАРЕ 161 [c.161]

Суммируя сказанное, можно сделать вывод о том, что обобш,ение метода малого параметра Пуанкаре на непараметрический случай, когда малая возмуш,ающая функция рассматривается как обобщенный малый параметр, принадлежащий нормированному пространству функций, позволяет опять применить классические методы и при [c.99]

В работах [1, 2] методом малого параметра Пуанкаре для гамильтоновых систем [3] было доказано существование периодических решений в задаче о движении твердого тела вокруг закрепленной точки в центральном ньютоновском поле тяготения. Задача решалась в переменных Андуайе [4]. В работе [5] были построены периодические решения в задаче о движении твердого тела с закрепленной точкой в центральном [c.77]

Доказательство теоремы 1 основано на применении метода малого параметра Пуанкаре, Для этого перейдем от переменных х, у к симплектическим переменным действие — угол J, ф mod 2тг невозмущенной-интегрируемой системы в области определенной неравенствами -с < Ho z) < О, где с — малая положительная постоянная. Напомним, что J = i fJjjoобратную функцию обозначим Fo J). В [c.294]

Известно, какое большое значение во многих случаях имеет метод малого параметра Пуанкаре ). В наши дни методом малого параметра были получены почти-периодические решения Г. И. Бирюк, И. Г. Малкиным, В. X. Харасахалом, Г. В. Плотниковой, А. П. Проскуряковым и другими. В работах И. 3. Штокало (1946, 1960), А. Е. Гельмана (1965), И, Н. Блинова (1965) были получены квазипериодические решения линейных систем дифференциальных уравнений. Многие вопросы устойчивости и периодических решений рассматривались П. Б. Голоквосчусом. [c.81]

Такого рода работы являются, разумеется, продолжением знаменитой работы Ляпунова о рядах Хилла, а с другой стороны, дают различные приложения метода малого параметра Пуанкаре, используемого в настоящее время чрезвычайно широко в самых разнообразных областях знания. [c.355]

В предельном случае р = О, 5 = О получаются решения Хилла, которые были выведены в предыдущем параграфе, где рассмотрение рекуррентных формул для коэффициентов было более простым, потому что вместо I входило 21 и отсутствовала особенность при I = 1. При ( = ОиО<р<1 получаем ограниченную задачу трех тел, в которой масса Лупы равна пулю. Для этого случая периодическое решение было найдено Брауном [2] по методу Хилла. Полученное памп общее решение было найдено Мультопом другим способом, а имеппо, с помощью метода малого параметра Пуанкаре. Этому методу посвящен следующий параграф. [c.185]

Мы сознательно получили здес основное уравнение (3.14), опустив для краткости ряд рассуждений по обоснованию вывода при желании этя обоснования могут быть легко воспроизведены. Отметим лишь, что полученный результат вполне согласуется с результатами, найденными другими методами, в частности, в отношении стационарши режимов - методом малого параметра Пуанкаре - Ляпунова [72]. [c.144]

Квазилинейные уравнения движения механизмов. Метод малого параметра или метод Пуанкаре применяется для исследования тех уравнений движения механизма, которые содержат малый параметр ц и имеют периодическое решение, когда этот параметр равен нулю. Из этих уравнений наибольшее зна-чение имеют квазилинейные уравнения, в которых нелинейные члены входят умноженными на малый параметр i. Происхождение термина связано с тем, что при (х = О уравнение движения обращается в линейное, решение которого при соблюдении определенных условий близко к решению нелинейного уравнения и может быть уточнено путем введения малых поправок. Линейное уравнение, получаемое при ц — О, называется пороЖ дающим. [c.195]

Метод точечных отображений возник одновременно с появлением качественной Теории дифференциальных уравнений в основополагающих работах А. Пуанкаре, который использовал так называемые секущий отрезок (поверхность) и функцию последования (см. ниже) при исследовании поведения фазовых траекторий на плоскости [551, при изучении разбиения на фазовые траектории тора [55], при рассмотрении задач небесной механики [56] и в менее явном виде — в теории периодических решений, которая после соединения с теорией устойчивости А. М. Ляпунова в работах А. А. Андронова и А. А. Внтта, стала широко известна как метод малого параметра (см. гл. 11, п. 3). [c.91]

Сама идея продолжения решения известна и эксплуатируется в математике и механике давно. Достаточно заметить, что именно она, по существу, лежит в осюве из естюго метода возмущений (метода малого параметра), первые применения которого восходят к работам. У. Леверье (1856 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.). [c.13]

Приближенные методы исследования нелинейных систем в принципе совпадают с первым приближением асимптотического метода Н. И. Боголюбова и с методом Ван-дер-Поля, поскольку известные уравнения Реллея и Ван-дер-Поля имеют аналогичный вид. Они также аналогичны и с первым приближением методов малого параметра А. Пуанкаре и Б. В. Булгакова и с теорией возмущений для медленно затухающих процессов, изложенной в работе Н. Н. Боголюбова. Оценка первого приближения в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. Пуанкаре, Б. В. Булгакова, Я. 3. Цыпкина и других авторов производится путем учета последующих приближений, но связана с большими математическими вычислениями и практически обычно не применяется. [c.38]

Следует особо отметить, что большинство приближенных методов исследования устойчивости регулирования нелинейных систем Б. В. Булгакова, А. Пуанкаре, Ван-дер-Поля, Л. С. Гольдфарба, Е. П. Попова, изображающих амплитудных кривых К. Магнуса, эквивалентного комплексного коэффициента усиления и другие базируются на методах малого параметра А. Пуанкаре и гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. [c.59]

Приближенные решения задачи о неизотермическом течении реального газа в газопроводе с учетом теплообмена с внешней средой при некоторых допущениях даны в исследованиях Б. В. Шалимова (1963) и 3. Т. Галиуллина, Б. Л. Кривошеина и И. Е. Ходановича (1964, 1965). В этих работах поправка на неидеальность газа вводилась методом малого параметра (методом Пуанкаре), а уравнение состояния бралось в форме Бертло теплообмен между потоком газа и окружающим грунтом определялся по формуле Ньютона. Показано, что благодаря проявлению эффекта Джоуля — Томсона при движении реального газа его температура может оказаться ниже температуры окружающего грунта, что согласуется с наблюдениями. [c.734]
Смотреть страницы где упоминается термин Метод малого параметра Пуанкаре : [c.230] [c.231] [c.122] [c.328] [c.403] [c.140]
Смотреть главы в:
Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике -> Метод малого параметра Пуанкаре
Справочное руководство по небесной механике и астродинамике Изд.2 -> Метод малого параметра Пуанкаре