Poincare parametrining kichik usuli bilan topilgan davriy echimlarning barqarorligini o'rganish bir qator xususiyatlarga EGA. A. M

Poincare parametrining kichik usuli bilan topilgan davriy echimlarning barqarorligini o'rganish bir qator xususiyatlarga ega. A. M. Lyapunov nazariyasiga ko'ra (35j, barqarorlik masalasini hal qilish tenglamalar (40) va eritmalar uchun (42) [C.54]

(X, x) = k x + e / i (x, x) (k — doimiy, e — kichik parametr) ekvivalent linearizatsiya usuli bilan bir xil natijalarga olib keladigan kichik chiziqli bo'lmagan hollarda Harmonik muvozanat usuli (qarang: p. 4), shuningdek usul 19-asr oxiri va 20-asr boshlarida M. da yirik shaharlar paydo bo'ldi. Shunday qilib, ushbu usulning o'rtacha usul bilan bevosita aloqasi bor, bu savol 1 12, 40 kitoblarida batafsil tahlil qilinadi]. Boshqa tomondan, Bubnov-Galerkin usuli bilan Harmonik muvozanat usulining aloqasini kuzatish mumkin (qarang: p. 12), shuningdek kichik parametr Poincare usuli bilan (qarang: p. 3) ushbu aloqalar monografiyalarda keltirilgan [34, 58]. [c.99]

Vaqti-vaqti bilan echimlarni topish uchun, bizning fikrimizcha, Hamilton shaklida harakat tenglamalarini ishlatish tabiiydir. Kanonik differensial tenglamalar tizimlari uchun Poincare kichik parametr usuli yaxshi ishlab chiqilgan va kuchli natijalar beradi. Ushbu g'oya birinchi marta Nyuton kuchlari sohasida dinamik nosimmetrik jismni aylantirish va muallif tomonidan mustaqil ravishda [34] nosimmetrik og'ir qattiq jismning harakatida amalga oshirilgan [38] ishida amalga oshirildi. [c.106]

Kovalyov, Lyapunov va boshqa mualliflarning qattiq jismlarning dinamikasidagi tadqiqotlari, harakat tenglamalarining umumiy echimi faqat Euler, Lagrange va Kovalevskoyning klassik holatlarida, qo'shimcha aniq integral mavjud bo'lganda, vaqtning aniq funktsiyalari bilan ifodalanadi. Uzoq vaqt davomida bu holat tasodifiy tasodif bo'ladimi yoki chuqur sabablarga asoslanganmi, aniq emas edi. Ushbu bobda Poincare kichik parametr usuli bilan isbotlangan, bu umumiy holatda yangi aniq analitik integralning paydo bo'lishiga to'sqinlik qiluvchi noaniq echimlarning cheksiz soni mavjudligi. [c.107]

Poincaré kichik parametr usuli bilan bir qatorda (1-ga qarang), differensial tenglamalar analitik tizimlarining yechimlarini o'rganish uchun yana bir samarali usul ma'lum, u am Lyapunov tomonidan 1894 da [118] taklif qilingan va ma'lum xususiy echimlarning o'zgarishida tenglamalarni o'rganishga asoslangan. [c.357]

Birinchi muammo davriy harakatlarni qurishdan iborat. Uni hal qilishning odatiy usuli Poincare xaritasiga o'tish va uning sobit nuqtalarini topish bilan bog'liq. Buning uchun topologik usullar (Brauer va Banach teoremalari) yoki Poincare kichik parametr usuli kabi asimptotik usullar qo'llaniladi. Yumshoq tizimlarning davriy echimlarini yaratish usullarini ko'rib chiqish mumkin [C. 243]

Sinxron motorlar uchun misol sifatida, vosita nominal ish rejimining sinxron bo'lmagan aylanish tezliklaridan uzoqligi uchun zaxira mezonlarini keltira olasiz. Boshqa bir misol sifatida, kichik Poincare parametri usuli asosida sinusoidal bo'lmagan kuchlanish bilan oziqlanishda sinxron aylanish tezligining sapmasını baholash uchun mezon mavjud. Sinxron sohada [C.193] o'tish jarayonlarining o'zgaruvchanligi uchun mezonni ham ko'rsatamiz.

Kichik parametr Poincare tizimi (5.31) usuli qo'llash orqali, uning yechim yaqin 8 [C.124] uchun konvergent tasavvur qilish mumkin.

Kichik parametr [34] va asimptotik usullarning asosiy mazmuni [20] o'ziga xos bifurkatsiyalar va buzilishlarni o'rganish sifatida talqin qilinishi mumkin. Shunday qilib, Poincare davriy harakatlar nazariyasi davriy harakatlar oilalaridan davriy harakatlarning tug'ilishi, tez o'zgaruvchan bosqichlarga ega bo'lgan quasilineal tizimlar nazariyasi-toroidal xilma-xillikning ko'p parametrli oilalaridan integral toroidal xilma-xilliklarning tug'ilishi masalasi, katta türevlerde kichik parametrlarga ega differensial tenglamalar nazariyasi va boshqalar.

Kichik parametrlarga (Poincare) ajralib chiqish yo'li bilan yechimni amalga oshirish eng oson. [c.297]

Usulning asosiy g'oyalari. O'zboshimchalik bilan chiziqli bo'lmagan avtonom tizimning holati. 19-asr oxirida A. Poinkarning klassik asarlarida differensial tenglamalar davriy yechimlari nazariyasiga nisbatan kichik parametr usulining matematik asoslari qo'yildi [56]. Poincare usuli yordamida asosiy rol harakat barqarorlik nazariyasi va differensial tenglamalar davriy yechimlari nazariyasi, shu davriga A. Lyapunovym taxminan rivojlangan o'ynaydi [35]. [c.51]

Kichik parametr usullarining aksariyati (masalan, Poincare usuli, o'rtacha usul, chegara qatlami usuli) dastlab mexanika va fizikaning muayyan muammolarini hal qilishda paydo bo'ldi va keyinchalik ishlab chiqildi va umumlashtirildi. Keyinchalik, bu usullarning ko'pchiligi matematik asosga ega, masalan, chiziqli bo'lmagan mexanikaning asimptotik usullari, shuningdek, N. M. Krylov va I. Bogolyubov [II, 32] asarlarida o'rtacha o'rtacha hisoblash usuli. [c.65]

Odatda, tenglamalarning o'ng qismlari (2) sinxron harakatlarga mos keladigan ifodalar (1) o'rniga almashtirilgandan so'ng, bu o'ng qismlar 2 davrida t = at o'lchamsiz vaqtining davriy funktsiyalariga aylanadi. natijada, sinxronlashning asosiy vazifasi chiziqli bo'lmagan differensial tenglamalarning davriy echimlarining mavjudligi va barqarorligi uchun shart-sharoitlarni o'rnatish, kichik parametr C ni o'z ichiga olgan (eng muhim holatda zaif bog'langan ob'ektlar). Ushbu holat sinxronizatsiya muammolarini hal qilish uchun chda ko'rsatilgan kichik parametrning samarali usullarini qo'llash imkonini beradi. Keyinchalik taqdimot p.3 ch. II materialiga asoslanadi. [c.218]

Lineer bo'lmagan vazifalarni analitik ko'rib chiqishda eng keng tarqalgan, ehtimol, asimptotik usullar va ularning modifikatsiyalari. Maxsus, lekin ular oddiy tenglamalar tizimlari [12] foydalanish ishlab chiqilgan. Lyapunov va Poinkare tomonidan ishlab chiqilgan kichik parametrning klassik usuliga aylandi. Tez va sekin 12ga harakatlarni o'rtacha va ajratish asimptotik usullari keng qo'llaniladi]. Asimptotik usullarning bir qator modifikatsiyalari xususiy lotinlar bilan chiziqli bo'lmagan tenglamalarni echishda ham rivojlanadi. U x,t yechimlarini taqdim etish uchun xarakterli va tez-tez ishlatiladigan zouemoy dizayni) muntazam turlar seriyasidir [C. 18]

Salınım nazariyasi, differensial tenglamalar va dinamik tizimlar nazariyasi sifatli nazariyasi faqat ikki o'lchovli tizimlarni to'liq o'rganishga muvaffaq bo'ldi va stokastik otokolbaniya faqat kamida uchta o'lchovli tizimlarda mumkin edi. Kichik parametr A. Poincare [243, 244] usullari va asimptotik usullari nm Krylov-N. N. Bogolyubova [92], har qanday hajmi tizimlari uchun qo'llaniladigan, ular ishlab chiqarish tizimida mavjud emas edi, agar, stokastik harakatlarni aniqlash uchun ruxsat yo'q edi, bu kichik parametrda stokastik harakatlarning mavjud bo'lmagan kichikligi bilan bog'liq. [c.81]

Ushbu usuldan foydalanib, chiziqli bo'lmagan a'zolarni chegara sharoitida Harmonik muvozanat nazariyasi ma'nosida linearizatsiyalangan a'zolar bilan almashtirish yoki masalan, Poincare davriy qarorlar (kichik parametr usuli) usulini Witt [va] shaklida ishlatish kerak. Fourier usuli ko'rsatilgan modifikatsiyada tizimning barqarorligini o'rganish, avtoulovlarning paydo bo'lishi uchun sharoitlarni topish, avtoulovlarning amplitudasi va chastotasini aniqlash imkonini beradi.

Yangi analitik (nafaqat algebraik) birinchi integrallarning mavjudligi, A. Poinkarning kichik parametri va umuman o'zgaruvchan hisoblash usullari yordamida davriy echimlarni topish, separatistlarning bo'linishi kabi samoviy mexanikada yuzaga keladigan bunday muhim muammolar qattiq tananing dinamikasida to'g'ri e'tibor berilmagan. [c.12]

Biroq, kichik parametr usuli bilan davriy echimlar topish bag'ishlangan ishlar bir qator bor (qarang., masalan, sharh maqola [37]). Biroq, bu ishlar A. Poincare usulini beradigan barcha imkoniyatlardan foydalanmaydi. [c.12]

Yuqorida aytib o'tilganidek, parametr / x ning kichik qiymatlarida qattiq jismning harakatini o'rganish matematik jihatdan tez aylanishlarni o'rganishga teng, ya'ni v). Biz bu erda kichik parametr A. Poinkare usuli bilan bog'liq masalalarni ko'rib chiqamiz. [c.106]

Parametr kichik bo'lgan ishni ko'rib chiqamiz. Tenglama davriy yechimlarini topish uchun (1.1) kichik parametr usulidan foydalanib, ushbu echimlarni kuch bilan bir-biriga yaqinlashadigan qatorlarga aylantirishingiz mumkin . Hamilton tizimi (1.1) shaklida tenglama taqdimoti (1.2) siz boblar I va osmon mexanikasi III mashhur yangi usullar ishlab chiqilgan yangi davriy yechimlari tug'ilmagan juft Poincare tug'ilgan nazariyasi, foydalanish imkonini beradi [9]. [c.235]

19-asrning oxirida A. Poinkarning klassik asarlarida differensial tenglamalar davriy yechimlari nazariyasiga nisbatan kichik parametr usulining matematik asoslari qo'yildi. [c.157]

Lineer bo'lmagan tebranishlar nazariyasining printsipial va amaliy jihatdan muhim muammolarini hal qilish uchun kichik parametr usuli samarali ishlatilgan birinchi ichki ishlar allaqachon Li Mandelstam va nd Papalexi (1930-1950) va A. A. Andronov va A, A. Witta (1930-1955). Ushbu tadqiqotlar asosan radiotexnik muammolarga bag'ishlangan bo'lsa-da, ularning davomida aniqlangan chiziqli bo'lmagan hodisalar (tebranishlarning yumshoq va qattiq qo'zg'alishi, rezonans va turlarning paydo bo'lishi , avtoulovni tortib olish va ushlab turish) universal xususiyatga ega (qarang 10 ta sharh tebranish nazariyasining amaliy muammolari, p. 101-109). Shuni ham ta'kidlash kerakki, BV Bulgakov (1942) Poincare usulini quasilineal tizimlardagi o'zgarishlarni o'rganish uchun foydalanishga bag'ishlangan. [c.161]

Kichik parametr (Poincare usuli yoki Pontryagin usuli) usullarini qo'llash orqali, ushbu qiymatlar uchun (i ) tizimning (a) cheklangan davrlari mavjud bo'lgan pl1 a-KIH ballari berilmasligini ta'kidlaymiz. [c.260]

Энциклопедия по машиностроению XXL