Подземная гидравлика

§ 4. ЗАВИСИМОСТЬ ПАРАМЕТРОВ ФЛЮИДОВ И ПОРИСТОЙ СРЕДЫ ОТ ДАВЛЕНИЯ
Выведенные дифференциальные уравнения (3.3) и (3.9) содержат плотность флюида р, а также коэффициенты пористости т, прони­цаемости k и вязкости флюида (х. Для дальнейших расчетов надо знать зависимость этих коэффициентов от давления.
При изотермическом процессе зависимость плотности однород­ного флюида от давления представляет собой уравнение состоя­ния.
При установившейся фильтрации капельной жидкости можно считать ее плотность не зависящей от давления, т. е. рассматри­вать жидкость как несжимаемую, тогда
р = const. (З.П)
В неустановившихся процессах часто большое количество нефти можно отобрать за счет расширения ее объема при снижении дав­ления. В этих процессах необходим учет сжимаемости жидкости. Считая капельную жидкость упругой, можно записать закон сжи­маемости ее в виде
Р«=“—V^s-. ^(ЗЛ2>
Уж dp
где У_ж — начальный объем жидкости; dV_x — изменение объема при изменении давления на dp; р_ж — коэффициент объемного сжа­тия жидкости, который обычно считают постоянным для данной жидкости (не зависящим от давления и температуры). Для различ­ных нефтей отечественных месторождений коэффициент объемного сжатия составляет р_н = (7—30) 10^-10 Па^-1, для пластовых вод р_в = (2,7—5) 10-¹⁰ Па-¹.
В формуле (3.12) перейдем от объемов к плотности. Подставляя У_ж = Mlр и dV_x = — Mdp/p², будем иметь
Р _ Mdp/p² dp (M/p) dp pdp
откуда dpip = р_жdp.
Проинтегрируем последнее равенство от фиксированных зна­чений Ро и ро до текущих значений р и р, соответственно
р р | dp/p = p* J dp,
Ро Ро
отсюда
In (р/Ро) = р_ж (р—р₀)
или
р = р₀е^рж(Р-Ро). 3.13
Показатель степени р_ж (р—р₀) обычно много меньше единицы. Действительно, если р_ж = 10^-9 Па^-1, а р—р₀ = 10 МПа, р_ж (р—
45
—Ро) = 0,01. В этом случае можно, разложив функцию е^{Рж (р р}°) в ряд Тейлора, ограничиться двумя первыми членами ряда
_еРж(Р-Ро)«1 ₊ р_ж(_р_р₀).
При этом получаем линейную зависимость плотности от дав­ления
Р = РоП + Рж(Р—Ро)]- (3-14)
Для больших перепадов давления р—р₀ надо использовать урав­нение состояния (3.13).
Иногда вместо коэффициента объемного сжатия вводят модуль упругости жидкости Кж = 1/Рж. Формулы (3.13) и (3.14), выра­женные через модуль упругости К ж, примут вид
р = р₀е(^р-^р<’)^//4 (3.15)
Р = Ро 11 + (р — Ро)/Кж]- (3.16)
Природные газы можно считать идеальными (совершенными), если пластовые давления газовых месторождений невелики (до 6—9 МПа) и газ отбирается при депрессии до 1 МПа. Уравнением состояния идеального газа является уравнение Клапейрона—Мен­делеева
p/p = RT, (3.17)
где R — газовая постоянная для газа с молекулярной массой |и, связанная с универсальной газовой постоянной R зависимостью R = /?/ц.
Если Т = Т_пл = const, а р_ат — плотность газа при атмосфер­ном давлении р_ат и пластовой температуре Т_пл, то
Рат/Рат ⁼ RT. (3.18)
Приравнивая левые части соотношений (3.17) и (3.18), получим уравнение состояния идеального газа, которым будем пользоваться в дальнейшем:
Р РатРРат- (3.19)
В настоящее время в практике все чаще встречаются газовые месторождения с высокими пластовыми давлениями (до 40—60 МПа), которые иногда эксплуатируются с большими депрессиями (порядка 15—30 МПа). В этих условиях следует использовать уравнение состояния реального газа, которое в отличие от уравнения (3.17) записывается в виде
p/p = zRT, (3.20)
где г — коэффициент, характеризующий степень отклонения со­стояния реального газа от закона идеальных газов (коэффициент сверхсжимаемости) и зависящий для данного газа от давления и температуры z = z (р, Т). Значения коэффициента сверхсжимае­мости z определяются по графикам Д. Брауна в зависимости от
46 приведенных величин абсолютного давления р_пр = р!р_Щ). _см и тем­пературы Т_пр = 77Т_кр. _см, где р_кр. см и Г_кр. см — критические дав­ление и температура для природного газа, представляющего собой смесь различных компонентов. Графики зависимости г = = z (р_пр, Г_Пр) приведены в работах [4, 6].
Для изотермической фильтрации реального газа зависимость плотности от давления принимает вид
p = p_6Xz(p_5T)p/p_aTz(p). (3.21)
Зависимость z (р) при постоянной температуре можно считать линейной при малых изменениях давления
z = z₀ [1—а_г (ро—р)], (3.22)
где z₀ — коэффициент сверхсжимаемости при р = р₀, и экспонен­циальной при больших изменениях давления

2. 
   = г₀е“^(^ро-^р), (3.23)
   

причем константа а_г должна быть подобрана так, чтобы кривая (3.22) или (3.23) как можно ближе подходила к соответствующей эмпирической кривой на графиках Д. Брауна.
Эксперименты показывают, что коэффициенты вязкости нефти (при давлениях выше давления насыщения) и газа увеличиваются с повышением давления. При значительных изменениях давления (до 100 МПа) зависимость вязкости пластовых нефтей и природных газов от давления можно принять экспоненциальной
H = _Ne-^an(^po-^p). (3.24)
При малых изменениях давления эта зависимость имеет линей­ный характер:
= — «|*(Ро—Р)]- (3-25)
Здесь ц₀ — вязкость при фиксированном давлении р₀; а^ — коэффициент, определяемый экспериментально и зависящий от состава нефти или газа.
Чтобы выяснить, как зависит от давления коэффициент пори­стости, рассмотрим вопрос о напряжениях, действующих в пори­стой среде, заполненной жидкостью.
Масса горных пород, расположенных над кровлей продуктивного пласта, создает так называемое горное давление р_горн, которое обычно можно считать неизменным в процессе разработки.
Горное давление определяется по формуле р_горч = ргорн gH, где Ргорн — средняя плотность горных пород, слагающих вышеле­жащие пласты; Н — глубина залегания пласта.
Если предположить, что' кровля и подошва пласта абсолютно непроницаемы и полностью воспринимают нагрузку вышележащих пород, то горное давление уравновешивается напряжением в ске­лете пласта а и давлением р в жидкости:
Ргорн = (1—т)<т + тр. (3.26)
47
Здесь а — истинное напряжение в скелете пористой среды, рас­считанное на единицу горизонтальной площади, мысленно выделен­ной в любой точке пласта; оно действует на части поверхности (1—т); поровое давление р действует на остальной части поверх­ности т. Удобнее ввести так называемое эффективное напряжение (Уэф , определяемое как разность напряжений в твердом скелете и в жидкой фазе и связанное с истинным напряжением соотноше­нием
сг_Эф = (1—т)(о—р).] (3.27)
Тогда из (3.26) следует, что
Ргорн = ог_Эф + р = const. (3.28)
Эффективное напряжение физически интерпретируется как та часть истинного напряжения сг в твердой фазе, которая передается
п


Рис. 3.3. Упрощенная’схема стро­ения пористой среды:
о контакту между зернами скеле­та. Понятие эффективного напря­жения удобно еще и потому, что его можно определить из опыта: можно измерить нагрузку Г, моде­лирующую горное давление р_горн и поровое давление р, и найти ст_Эф = Г—р.
При разработке залежи пла­стовое давление р падает и напря­жение в скелете сг_Эф возрастает.
И
а — до деформации; 6 — после дефор­мации
зменение пористости обуслов­лено как изменением внутрипо- рового давления р, так и изме­нением эффективного напряжения ст_Эф '■ т = т (р, <т_Эф). При падении давления уменьшаются уси­лия, сжимающие каждое из зерен породы, поэтому увеличивается объем зерен и уменьшается объем пор. Увеличение напряжения о_Эф приводит к тому, что зерна породы испытывают дополнитель­ную деформацию — поверхность контактов между зернами увели­чивается, происходит уплотнение упаковки зерен (схематично этот процесс показан на рис. 3.3), возможна также перегруппировка зерен, разрушение цементирующего вещества и самих зерен, дроб­ление зерен и т. д.
В тех случаях, когда p_ropH = const, обычно принимают, что пористость зависит только от давления т = т (р).
Вследствие малой деформации твердой фазы считают обычно, что изменение пористости зависит от изменения давления линейно. Закон сжимаемости породы записывают следующим образом, вводя коэффициент объемной упругости пласта р_с:
р_с = dVJVdp, (3.29)
где dV_п — изменение объема пор в элементе пласта, имеющем
48
объем V, при изменении давления на dp. Закон сжимаемости (3.29) можно записать в виде
dm = $_cdp (3.30)
или в конечной форме
т=/л₀ + р_с(р—ро), (3.31)
где т₀ — коэффициент пористости при р = р₀.
Лабораторные эксперименты для разных зернистых пород и промысловые исследования показывают, что коэффициент объем­ной упругости пласта составляет: р_с = (0,3—2) 10^-10 Па^-1.
При значительных изменениях давления изменение пористости описывается уравнением
m=m₀e ^Р). (3.32)
Экспериментально показано, что не только пористость, но и проницаемость существенно изменяются с изменением пластового давления, причем часто проницаемость значительнее, чем пористость. При малых изменениях давления эту зависимость можно принять линейной
k = k₀[\— a_k(p₀—р)], (3.33)
а при больших — экспоненциальной
k = k₀e~^ak(^po~p). (3.34)
В трещиноватых пластах проницаемость изменяется в зависи­мости от давления более интенсивно, чем в пористых. Поэтому в трещиноватых пластах учет зависимости k (р) более необходим, чем в гранулярных (подробнее см. гл. 12).
Уравнения состояния флюидов, насыщающих пласт, и пористой среды замыкают систему дифференциальных уравнений.
Таким образом, в наиболее общем случае, когда плотность, вязкость флюида, пористость и проницаемость среды зависят от давления, задача заключается в определении восьми неизвестных функций от координат и времени: давления р, скорости фильтра- —
ции w (w_x, w_y, w_z), плотности р, вязкости ц, пористости т и про­ницаемости k. Для этого нужно решить систему из восьми урав­нений, включающих в себя уравнение неразрывности (3.3), три уравнения движения (3.9), уравнение состояния флюида — одно из соотношений (3.13), (3.14), (3.19) или (3.20); одно из соотноше­ний для вязкости — (3.24) или (3.25); для пористости — (3.31) или (3.32); для проницаемости — (3.33) или (3.34).