Площадь плоских сечений Статические моменты сечения

Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А, сумма произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния от этой оси (рис. 4.1):




где y_c – расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси x; x_c – расстояние от центра тяжести всего сечения до оси y.
Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси:


В формулах (6) введены обозначения: А₁, А₂, …, А_n – площади простых элементов, составляющих плоское сложное сечение; x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃, … , x_n, y_n – координаты центров тяжести простых составляющих сложного плоского сечения относительно выбранных осей х и у.
Из выражений (4) можно определить координаты центра тяжести плоского сечения:

Для сложного поперечного сечения формулы (7) можно представить в следующем виде


Зависимости между статическими моментами одного и того же сечения относительно двух параллельных друг другу осей х и х₁, а также у и у₁ имеют вид:

где параметры a, b показаны на рис. 4.2.

Рис.2
Пример 1. 
Определить статический момент полукруга радиусом R (рис. 3) относительно горизонтальной оси z, совпадающей с диаметром, и координату центра тяжести y_c.

Рис.3
Решение.
По формуле (3) имеем  . Выделим на рис. 4.3 на расстоянии y элементарную площадку dF с помощью двух хорд, параллельных оси z, на расстоянии dy друг от друга. Как следует из рис. 4.3

тогда


Подставляя найденные значения y и dF в выражение S_z, получим

Координата центра тяжести сечения y_c определяется по формуле (7):