План: набор констант в графе

НАБОР КОНСТАНТ В ГРАФЕ. КОЛИЧЕСТВО ВНУТРЕННИХ И ВНЕШНИХ КОНСТАНТ НА ГРАФИКЕ.
ПЛАН:

1. 
   НАБОР КОНСТАНТ В ГРАФЕ
   
2. 
   КОЛИЧЕСТВО ВНУТРЕННИХ И ВНЕШНИХ КОНСТАНТ НА ГРАФИКЕ
   

В математике константой Чигера (также числом Чигера или изопериметрическим числом) графа называется числовая характеристика графа, отражающая, есть ли у графа «узкое место» или нет. Константа Чигера как способ измерения наличия «узкого места» представляет интерес во многих областях, например, для создания сильно связанных компьютерных сетей, для тасования карт и в топологии малых размерностей (в частности, при изучении гиперболических 3-мерных многообразий). Названа в честь математика Джефа Чигера

Определение
Пусть {\displaystyle G}— ненаправленный граф со множеством вершин {\displaystyle V(G)}  и дуг {\displaystyle E(G)}. Пусть для набора вершин {\displaystyle A\subseteq V(G)}  {\displaystyle \partial A}  означает набор всех дуг, соединяющих вершины набора{\displaystyle A} с вершинами, не принадлежащими. {\displaystyle A}
{\displaystyle \partial A:=\{(x,y)\in E(G)\mid x\in A,y\in V(G)\setminus A\}.}Напомним, что дуги не направлены, так что дуга{\displaystyle (x,y)} — это та же дуга, что и {\displaystyle (y,x)}.
Тогда константа Чигера графа{\displaystyle G} (обозначается{\displaystyle h(G)}) определяется как
{\displaystyle h(G):=\min \left\{\left.{\frac {|\partial A|}{|A|}}\right|A\subseteq V(G),0<|A|\leqslant {\frac {|V(G)|}{2}}\right\}.}Константа Чигера строго положительна тогда и только тогда, когда граф {\displaystyle G}связен. Интуитивно понятно, что если константа Чигера мала, но положительна, в графе есть «узкое место», в том смысле, что имеются два «больших» множества вершин с «небольшим» числом связей (дуг) между ними. Константа Чигера «велика», если любое деление множества вершин на два подмножества оставляет «большое» число связей между этими подмножествами.
Пример: компьютерная сеть

Сеть компьютеров «кольцо»
Представим себе, что необходимо разработать сетевую конфигурацию, в которой константа Чигера велика (по меньшей мере, существенно отличается от нуля), даже если |V(G)| (число компьютеров в сети) велико.
Например, имеется N ≥ 3 компьютеров, объединённых в кольцо, образуя граф G_N. Пронумеруем компьютеры числами 1, 2, ..., N в кольце по часовой стрелке. C математической точки зрения имеется граф с множеством вершин{\displaystyle V(G_{N}):=\{1,2,\dots ,N\}} и множество дуг
{\displaystyle E(G_{N}):=\{(1,2),(2,3),\dots ,(N-1,N),(N,1)\}.}Возьмём в качестве множества A {\displaystyle \lfloor N/2\rfloor }этих компьютеров, находящихся в цепочке:
Этот пример показывает верхнюю границу константы Чигера h(G_N), и она стремится к нулю при стремлении N к бесконечности. Следовательно, мы можем рассматривать сеть компьютеров, объединённых в кольцо, как состоящую из сплошных «узких мест» для больших N, и это понятно в практическом смысле. Стоит одному компьютеру в кольце выйти из строя, и скорость обмена резко упадёт. При выходе из строя двух не соединённых друг с другом компьютеров сеть распадётся на две несвязанные части.
Неравенство Чигера
Константа Чигера особенно важна в контексте графов-экспандеров, поскольку служит мерилом охвата графа его дугами. Так называемое неравенство Чигера связано со спектральным зазором и содержит константу Чигера.

Литература

1. 
   Donetti, L., Neri, F., and Muñoz, M. Optimal network topologies: expanders, cages, Ramanujan graphs, entangled networks and all that // J. Stat. Mech. — 2006. — Т. 2006, вып. 08. — doi:10.1088/1742-5468/2006/08/P08007.
   
2. 
   Lackenby, M. Heegaard splittings, the virtually Haken conjecture and property (τ) // Invent. Math. — 2006. — Т. 164, вып. 2. — С. 317—359. — doi:10.1007/s00222-005-0480-x.
   
3. 
   Mark Lackenby. Finite covering spaces of 3-manifolds // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Hyderabad, India. — 2010.
   
4. 
   Alexander Lubotzky. Expander Graphs in Pure and Applied Mathematics // This paper is based on notes prepared for the Colloquium Lectures at the Joint Annual Meeting of the American Mathematical Society (AMS) and the Mathematical Association of America (MAA). — 2011.