Пифагор теоремаси ва унинг турли хил исботлари” мавзусида тайёрлаган

Пифагор теоремасининг турли исботлари

Пифагор теоремаси кўпчиликка маълумлигидан ташқари яна бир жиҳати билан машҳур: унинг 100 дан ортиқ исботлари топилган.

1 – исбот (Прокл, III аср)

Тўғри бурчак учидан гипотенузага перпендикуляр ўтган тўғри чизиқ билан катта квадратнинг иккита тўғри тўртбурчакка бўламиз. Сўнг ва учларни ҳамда ва учларни туташтирамиз. Ҳосил бўлган ва учбурчаклар тенг, чунки биттадан томонлари (катта квадрат) кичик квадратдан томомнларидан иборат, яна биттадан томонлари катта квадрат томонларидан иборат. Улар орасидаги ҳар икки бурчак ҳам бурчакка тўғри бурчак қўшилганига тенг.
Энди қуйидагига эътибор қилайлик: учбурчакнинг асоси кичик квадрат асоси билан битта, баландликлари ҳам бир хил, демак, унинг юзи кичик квадрат юзининг ярмига тенг. Шу сингари, учбурчак юзи тўртбурчак юзининг ярмига тенг. Бундан кичик тўртбурчак юзи кичик квадратнинг юзига тенглиги келиб чиқади (бу хосса Евклид теоремаси ҳам дейилади). Худди шу сингари, квадрат юзи тўртбурчак юзига тенг. Шу билан Пифагор теоремаси исботланди (юзлар баёнида).
Исботнинг афзаллиги: нозик ва гўзал мушоҳадага асосланган; камчилиги: уни билмаган одам ўйлаб топиши қийин.
Бу исботни немис математиги Шопенгагер “геометрик қопқон” деб атаган.
2 – исбот (анъанавий)

Гипотенузага туширилган перпендикуляр тўғри бурчакли учбурчакни унинг ўзига ўхшаш иккита учбурчакка ажратади (уччала учбурчакларнинг иккитадан бурчаклари тенг). Ўхшаш учбурчакларнинг мос томонлари пропорционал бўлишига асосланиб қуйидаги нисбатларни ҳосил қиламиз:

Булардан , .
Ҳар икки тенгликни қўшиб, эканини ҳисобга олсак, тенгликка келамиз. Бу эса – Пифагор теоремаси (кесмалар баёнида).
Исботнинг афзаллиги: мантиқий энг бекаму кўст исбот, камчилиги – геометриянинг нисбаттан содда теоремаси анча мураккаб мавзу – ўхшашликка асосланади.