Пифагор теоремаси

Пифагор теоремаси
2.1. Рифагор ва унинг теоремаси ҳақида
Пифагор милоддан аввалги 570 – 500 яшаган буюк юнон математикларидан бири. Унинг шахсий ҳаётига оид ёзма манбалар қолмаган, у Егей денгизининг Самос оролида туғилган, кейинчалик эса Италиянинг жанубида яшаган. Пифагор ва унинг уқувчиларининг математика, астрономия ва тиббиёт илмига қўшган ҳиссалари беқиёсдир. Хусусан, геометриянинг мустақил фан сифатида таркиб топишида уларнинг ҳиссаси каттадир. Биз хозир келтирмоқчи бўлган теорема Пифагор номи билан юритилади . Аммо бу теоремани ундан аввал қадимги Миср ва Бобилда ҳам билишган. Пифагор эса бу теореманинг назарий исботларини келтирган ва ўша давргача баъзи ҳоллар учун тўғри деб билинган тушунча қонун шаклини олган.

Бу теорема тўғри бурчакли учбурчакка оид бўлиб, учбурчак томонларига тенг квадратларнинг юзлари орасидаги муносабатни кўрсатади. Умумий исботдан сўнг эса у учбурчак томонлари орасидаги муносабат экани маълум бўлган.

Теорема (Пифагор теоремаси). Тўғри бурчакли учбурчак гипотенузасининг квадрати унинг катетлари квадратларининг йиғиндисига тенг.
Катетларининг узунлиги ва , гипотенузасининг узунлиги бўлган тўғри бурчакли учбурчак берилган бўлсин (18 – расм), у ҳолда Пифагор теоремаси формула билан ифодаланади, бунда , , - томонлари , , бўлган квадратларнинг юзаларига тенг. Шунинг учун бу тенглик томони гипотенузанинг узунлигига тенг квадратнинг юзи томонлари катетларига тенг квадратларнинг юзлари йиғиндисига тенг эканини кўрсатади (19 – расм)

2.2. Пифагор теоремасининг исботи
Катетлари ва гипотенузаси бўлган тўғри бурчакли учбурчакни қараймиз (18 – расмга қаранг) эканлигини исботлаймиз.
Исбот қилиш учун томонинг узунлиги га тенг бўлган квадрат ясаймиз (22 – расм). Бу квадратнинг бурчакларидан катетлари ва бўлган тўғри бурчакли учбурчскларни расмда кўрсатилгандек ажратамиз. Натижада ҳосил бўлган бу тўрттала тўғри бурчакли учбурчакларнинг катетлари тенг, демак, улар ўзаро тенгдир (тўғри бурчакли учбурчаклар тенглигининг биринчи аломатига кўра). Шунинг учун уларнинг гипотенузалари берилган тўғри бурчакли учбурчакнинг гипотенузасига, яъни га тенг.

Энди ясалган квадратнинг ичидаги тўртбурчакнинг томони га тенг бўлган квадрат эканини кўрсатамиз.
Бизга маълумки, тўғри бурчакли учбурчакнинг ўткир бурчаклари йиғиндиси га тенг. Шунинг учун .
Иккинчи томондан, , , ва нинг йиғиндиси йойиқ бурчак ҳосил қилади, яъни . эканини эътиборга олсак, эканлиги келиб чиқади. Худди шунга ўхшаш , тўртбурчакнинг томонлари тенг ва барча бурчаклари дан иборат бўлгани учун у квадрат бўлади. Томони бўлган квадратнинг юзи
.
га тенг.
Бундан ташқари, томони бўлган квадрат ҳар бирининг юзи га тенг бўлган тўртта тенг тўғри бурчакли бурчакдан ҳамда томонли квадратдан ташкил топган. Шунинг учун
.
Шундай қилиб, аксиомага кўра
ёки ,
бундан
ёки ,
келиб чиқади. Теорема исботланди.
Бу ерда биз Пифагор теоремасининг исботларидан бирини келтирдик, холос.
Теорема (Пифагор теоремасига тескари теорема). Агар учбурчак бир томонининг квадрати қолган икки томони квадратларининг йиғиндисига тенг бўлса, у ҳолда учбурчак тўғри бурчакли бўлади.
23-расм
Исбот. учбурчскнинг томонлари , ва бўлиб, бўлсин (23-а расм). эканлигини исботлаймиз.
Тўғри бурчаги , катетлари , ва гипотенузаси бўлган тўғри бурчакли учбурчакни кўрайлик (23-в расм). Пифагор теоремасига кўра . Лекин шартга кўра эди. Булардан эканлиги келиб чиқади, бундан эса га эга бўламиз. Ясашга кўра , , шунингдек, исботга кўра эди. Шундай қилиб, учбурчаклар тенглигининг учучи аломатига кўра ва учбурчаклар тенг бўлади. Бундан , яъни учбурчакнинг тўғри бурчакли эканлиги келиб чиқади. Теорема исботланди.