Пифагор теоремаси

2.3. Пифагор теоремасининг баъзи тадбиқлари ҳақида
Пифагор теоремаси амалий ва назарий масалаларини ҳал қилишда жуда кўп ишлатилади. Биз шулардан баъзилари билан сизларни таништириб ўтамиз.
а) Устунни тик ўрнатиш.
Пифагор сонлари деб аталган 3, 4, 5 сонлари хоссасидан фойдаланамиз. Бу сонлар учун қуйидаги тенглик ўринли:

Бундан катетлари 3 ва 4 узунлик бирлигига тенг бўлган тўғри бурчакли учбурчакнинг гипотенузаси 5 бирликка тенг эканлиги келиб чиқади.
Устунни тик урнатиш учун устун узунлигини ип билан ўлчаймиз. Сўнгра бу ипни икки марта тенг иккига бўламиз. Бунда устунга нисбатан бир узунлик бирлигини ҳосил қиламиз. Устун эса тўрт бирликка тенг бўлади. Устун остидан бошлаб уч бирлик ўлчаймиз. Агар бу масофа беш бирликка тенг бўлса, устун текисликка нисбатан тик турган бўлади. Фақат бу ишни камида икки йўналишда бажариш керак (26 – расм).

б) Учбурчакнинг баландлигини топиш.

Томонларининг узунликлари , ва бўлган учбурчак берилган (27-расм). Унинг учидан томонга туширилган баландликнинг узунлигини топамиз. Баландликнинг асоси томонни ва узунликдаги кесмаларга ажратсин.
Тўғри бурчакли ва учбурчакларнинг томонлари учун Пифагор теоремасини қуллаймиз.
учбурчакда:
(1)
ҳамда учбурчакда:
.
бу тенгликларни солиштирсак:
ёки .
Бундан
ёки
нинг бу қийматини (1) тенгликка қўйиб, қуйидагига эга бўламиз:
.
Бу касрнинг суратини кўпайтувчиларга ажратиб, қуйидагиларни ҳосил қиламиз:
.
Ҳосил қилинган ифоданинг суратидаги иккала кўпайтувчининг шаклини ўзгартирамиз:

ва
.
Демак,
,
бундан

Агар учбурчакнинг периметри ( - ярим периметр) билан белгиласак, бўлади. У ҳолда



Ва ниҳоят, илдиз остидаги кўпайтувчиларни уларнинг қийматлари билан алмаштириб, охирги натижани ҳосил қиламиз:

ёки
.
Ҳудди шунингдек


эканини топиш қийин эмас.
Биз 27 – расмда баландликнинг асоси учбурчак томонларида ётган ҳолни кўрдик. Бу формулалар баландлик учбурчак томонларининг давомига тушириш ҳам ўринли бўлишини мустақил исбот қилинг (28 – расм)
28-расм

д) Герон формуласи

Биз томонлари узунлиги маълум бўлганда, учбурчакнинг баландлигини ҳисоблашни ўргандик. Маълумки учбурчак юзини

формула билан ҳам ҳсобласа бўлади.
Баландлик ўрнига унинг учбурчак томонлари орқали ифодасини қўйиб, ушбу формулани ҳосил қиламиз.

Бу формула мелодий биринчи асрда яшаган қадимги юнон олими Искандариялик Герон томонидан топилган бўлиб, Герон формуласи деб аталади.
Герон формуласи учбурчакнинг учала томони узунлиги маълум бўлганда унинг юзини ҳисоблаш учун ишлатилади.
с) Тўғри бурчакли учбурчакларнинг тенглиги.
7 – синфда кўрилган “тўғри бурчакли учбурчакларнинг гипотенузаси ва катети бўйича тенглик аломатини Пифагор теоремасининг бевосита натижаси сифатида қараш мумкин.
Теорема. Агар бир тўғри бурчакли учбурчакнинг гипотенузаси ва катети иккинчи тўғри бурчакли учбурчакнинг гипотенузаси ва катетига мос равишда тенг бўлса, бу учбурчаклар ўзаро тенгдир.
Уни исботлаймиз. Пифагор теоремасидан фойдаланиб, берилган учбурчакнинг иккинчи катетини гипотенузаси ва берилган катети орқали ифодалаймиз:

Теорема шартига кўра улар тенг. Шундай қилиб, икки тўғри бурчакли учбурчакнинг бир катети ва гипотенузаси тенг бўлса, у ҳолда уларнинг иккинчи катети ҳам тенг бўлар экан. Демак, кўрилаётган учбурчакнинг учала томони мос равишда тенг бўлгани учун улар ўзаро тенгдир. Теорема исботланди.