Педагогик аннотацияси ўқув предмети: Алгебра ва сонлар назарияси 16-Мавзу: майдоннинг алгебраик кенгайтмаси

МАВЗУ:МАЙДОННИНГ АЛГЕБРАИК КЕНГАЙТМАСИ.
Биз ҳарқандай квадрат тенгламани имконият туҳдириш учун комплекс сонлирни киритдик. Энди иккинчи даражадан юқори бўлган тенгламани ҳақиқий сонлар ёрдами билан ечиш мумкин бўлмай қолса нима қилиш керак деган табиий савол туғилади. Раншйнки, бу ерда ҳам олдиги йўлдан боришга иўлдан боришга тўғри келади – ҳақииқий сонлар майдонининг тегишли кенгайтмасини излашга тўғри келади. Эҳтимол бу кенгайтма комплекс сонлар
майдони ҳам бўлмас.
Биз шундай кешайтманинг фақат ҳақиқий сонлар майдони учунгина эмас, балки ҳар қандай майдон учун мавжудлигини кўрсатамиз. Яҳни фараз этайлик,
F(х) =A₀xⁿ+ A₁x^n-1 +…+ A_n , n≥2
ихтиёрий P майдон устида олинган кўпҳадли бўлиб, P ичида илдизларга эга бўлмасин. Биз, P майдоннинг шундай P' кенгайтмаси борлигини кўрсатамизки, унинг ичида F(х) кўпҳадли камида битта илдизга эга. Умумийликни чегараламасдан ҳам, F(x) ни P ичида келтирилмайдиган, деб фараз этиш мумкип, акс ҳолда биз кўпҳадли ўрнига унинг келтирилмайдиган кўпайтиручиларидан бирини олган бўлар эдик; шубҳасиз, F(х) нинг ҳар қандай келтирилмайдиган кўпайтyвчисининг илдизи F(х) нинг ҳам илдизи бўлади.
Шундай қилиб қуйидаги теореманн исбот қилиш керак.
Илдизнинг мавжудлиги тўғрисидаги теорема. Aгap F(х)n≥2 даражали иҳтиёрий кўпҳадли P маидонда келтирилмайдиган бўлса,уҳолда P майдоннинг шундай кенгайтмаcинu кўрсатиш мумкинки, yнинг ичида F(х) нинг камиди битта илдизга эгадир.
Бунинг исботига ўтишдан олдин баҳзибир мулоҳазаларимизни айтиб ўтамиз. Улар бизга шу теореманинг исботини қайси йўсинда олиб боришни кўрсатади.
Фараз қилайлик, Ω – майдон P нинг иҳтиёрий кенгайтмаси бўлсин. Ω нчидан қандайдир бир θ элементини олиб, θ дан тузилган ва P устидаги кўпҳадлиларнинг P[θ] ҳалқасини қараб чиқайлик. Биз P[θ] ни Pмайдонга θ элементни бирлаштиришдан ҳосил қилинган ҳалқа ҳам деб атаймиз. P данP[θ] ҳалқага ўтиш P га θ элементни бирлаштириш дейилади.
Энди биз P[θ]ҳалқанинг элементларидан турлича нисбатлар тўзамиз. Улар мана бу кўринишдаги

Ифодалардан иборат бўлиб, m ва n – иҳтиёрий бутун манфий бўлинган сонлардир, a_i вa b_i лар эса P майдон элементларидир. Махражнинг нольдан фарқ килишлиги кераклиги ўз-ўзидан маълум. Энди (1) кўринишдаги элементларнинг тўплами майдондан иборат бўлиб, P[θ] ҳалқа унинг бир қисми бўлиб қолади. Шу майдонни биз P(θ) оркали белгилаб (θ кичик қавслар ичида), P ва θ элементни бирлаштиришдан ҳосил бўлган майдон ёки кенгайтма деб атаймиз.
Мисоллар. 1. Фараз этайлик, P рационал сонлар майдони, Ω – хақиқий сонлар майдони бўлсии. Ω ичидан сонни олайлик. Энди бу ерда нинг нималигини аниқлаймиз. Аёнки, нинг элементлари ушбу
,
кўринишга эга бўлиши керак, бундаги а₀, a₁, . . . ,а_n,– рационал сонлар, n – ҳарқапдай бутун манфий бўлмаган сон тенглйкка асосаа ҳалқанинг ҳарбир элементини соддароқ ҳолга келтириб қўйиш мумкин, яҳни а ва bкоэффициентлари рационал бўлган икки ҳадли шаклда ёзиш мумкин.
Шундай қилиб, ҳалқа кўринишдаги сонлар тўпламидан, иборатдир.
Эндн ни га бўламиз:

ёки, қисқалик учун ни а оркали ва ниb орқали белгиласак,

ҳосил бўлиб, бундаги а ва b яна рационал сонлар. Биз нисбат сифатида ҳалиги кўринишдаги сонга, яҳни нинг элементига эга бўлдик. Шундай қилиб, фақат ҳалқагина бўлмасдан, балки у майдон ҳам экан: = .
2. P майдон устидаги ҳалқани P майдонга номаълум х ни бирлаштиришда ҳосил бўлган майдон деб тушуниш ҳам мумкин. Лекин бу жойда ≠ , чунки нинг майдон бўлмасдан фақат ҳалқа эканлиги бизга маълум.
Биринчи мисолда ҳалқа майдон билан бир-ҳилда бўлиб қолди. Бу тасодифий эмас. Биз § 26 даёқ алгебраик элемент тушунчаси билан танишиб ўтган эдик. § 26 да берилган алгебраик элемент таҳрифини бирозўзгартириб шундайдеяоламиз. Aгap коэффидиентлари P дан олинганn-чидаражали бирорf(x)кўпҳадининг илдизиΩмайдондаги θэлементданиборат бўлса, Ω дан олинганθэлемент P гa нисбатан алгебраик дейилади.
P майдоннинг ҳарбир а элементи P гa нисбатан алгебраик бўлади, чунки а элементни чизиқлих – а икки ҳадлнинг илдизи деб тушунмоқ мумкин. Аммо Ω ичида P майдон элементларидан бошқа алгебраик элементлар ҳам бўлиши мумкин. Чунончи, биринчи мисолдаги рационал сонлар майдонига нисбатан алгебраик элементдир ва унинг рационал сонлар майдони ичида бўлмаслиги очиқ маълум.
Рационал сонлар майдонига нисбатан алгебраик бўлган комплекс сонларни одатда қисқача алгебраик сонлар дейилади. Шундай қилиб, алгебраик сондир. Алгебраик сонлар назарияси математиканинг жуда чуқур равишда текширилган тармоғидир. Бу соҳада Н.Г.Чеботарёв биринчи даражали ажойиб натижаларга эршиди.
Алгебраик сонларнинг энг содда хусусиятларини биз кейинги бобларда кўриб чиқамиз, лекин бу назарияни систематик равишда баён қилиш бу китобнинг вазифасига кирмайди.
P[θ] ҳалқанинг P(θ) майдон билан бирхилда бўлиб қолиши алгебраик элементларнинг характерли хусусияти экан. Яҳни қуйидаги теореманинг рўй беришини кўрамиз.
1-ТЕОРЕМА.Агар P майдон. кенгайтмаси бўлмишΩнингθэлементи P га нисбатан алгебраик бўлса, у ҳолда P га θэлементни бирлаштиришдан ҳосил бўлган, P[θ]ҳалқа бир вақтда майдон ҳам бўлади:P[θ]=P(θ).
Исбот.P[θ] – коммутатив ҳалқа бўлгани учун, фақат бўлиш амалини бажариш мумким эканлигини кўрсатишгина қолади.
Исботнинг умумийлигини чегараламасданоқθ ни, P майдонда келтирилмайднган, р(х) кўпҳадлининг илдизи деб фараз қилмок мумкин. Aгapр(х) келтириладиган бўлгандаэди, биз р(х)нинг келтирилмайдиган кўпайтиручиларидан θ илдизлисини олган бўлар эдик.
Фараз қилайлик,
p(x)=p₀+p₁x+…+p_kx^k, p_k≠0 (p_i-Pнинг элементлари)
Дастлаб P[θ]ҳалқанинг ҳарбир элементиеиPустидаги (k-1)-нчи даражали ваθдан тузилган кўпҳадли шаклида ёзиш мумкинлигини кўрсатамиз:
а₀+а₁θ+…+а_k-1θ^k-1, (а_i-P нинг элементлари)
Дaрҳакикат, агар P[θ]нинг бирор элементи
с₀+c₁θ +. . . +с_mθ^m
кўpинишгa эга бўлиб, бундаги с_i – Pнинг элементлари бўлса, у вақтда биз ушбу