Pdf-xchange 0 Examples

МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА И ДРУГИЕ МЕТОДЫ 
Шокиров А. 
Ферганский филиал ТУИТ 
Средства MAPLE позволяют использовать и другие методы решения 
уравнений. Рассмотрим процедуру построения формальных решений 
неоднородных уравнений параболического типа методом функций Грина. 
Основными этапами построения решения этим методом являются: 
1) ввод неоднородного уравнения; 
2) ввод представления для решения уравнения в виде ряда Фурье; 
3) разложение функций в ряд Фурье; 
4) определение коэффициентов разложения; 
5) подстановка разложений функций в исходное уравнение; 
6) представление решения в виде суммы решений однородного и 
неоднородного уравнений; 
7) учет НУ, определение коэффициентов и вывод решения 
однородного уравнения; 
8) построение функции Грина; 
9) вывод решения однородного уравнения и частного решения 
неоднородного уравнения с помощью функции Грина; 

---

84 
10) вывод решения уравнения. 
Для неоднородных уравнений представим функциональные 
алгоритмы построения решений задачи о теплопроводности. 
Функциональный алгоритм формального решения неоднородного 
уравнения параболического типа методом функций Грина: 
1. 
Ввод неоднородного уравнения 
PDE:=diff(u(t,x),t)=a^2*diff(u(t,x),x,x)+w(t,x); 
 
 
 
x
t
w
x
t
u
x
a
x
t
u
t
PDE
,
,
,
:
2
2
2













2. 
Ввод представления для решения уравнения в виде ряда Фурье 
u(t,x):=Sum(u[n](t)*sin(Pi*n* x/L),n=1..infinity); 
3. 
Разложение функций в ряд Фурье 
w(t,x):=Sum(w[n](t)*sin(Pi*n*x/ L),n=1..infinity); 
F(x):=Sum(F[n]*sin(Pi*n*x/L),n=1..infinity); 
4. 
Определение коэффициентов разложения 
w[n](t)=(2/L)*int(w(t,xi)*sin(Pi*n*xi/l), xi=0..L); 
F[n]=(2/L)*int(F(xi)*sin(Pi*n* xi/L),xi=0..L); 
5. 
Подстановка разложений функций u(t,x) и w(t,x) в исходное 
уравнение PDE; 
6. 
Представление решения в виде суммы решений однородного и 
неоднородного уравнений 
u[n](t)=u_Un[n](t)+u_Nu[n](t):
u_Un[n](t):=_C1*exp(-a^2*Pi^2*n^2/L^2*t): 
u_Nu[n](t):=(Int(w[n](tau)*exp(a^2*Pi^2*n^2/L^2*(tau-t)),tau)): 
7. 
Учет начальных условий, определение коэффициентов и вывод 
решения однородного уравнения 
u_0:=subs(t=0,u(t,x))=F(x): u[n](0)=F[n]; 
eval(subs(t=0,u_Un[n](t)))= F[n]; 
8. 
Построение функции Грина 
G(x,xi,t,tau):=Sum(2/L*exp(-a^2*Pi^2*n^2/L^2*(ttau))* 
*sin(Pi*n*xi/L)*sin(Pi*n*x/L),n=1..infinity); 












































1
sin
sin
2
:
,
,
,
2
2
2
2
n
L
t
n
a
L
L
nx
L
n
e
t
x
G







9. 
Вывод решения однородного уравнения и частного решения 
неоднородного уравнения с помощью функции Грина 
u_Un(t,x):=Sum(u_Un[n](t)*sin(Pi*n*x/L),n=1..infinity); 
u_Nu(t,x):=int(int(G(x,xi,t,tau)*w(tau,xi),xi=0..L),tau=0..t); 
10. 
Вывод решения исходного неоднородного уравнения 
u(t,x):=u_Un(t,x)+u_Nu(t,x); 

---

85