Бошланғич таълим кафедраси

b + 
3ab
2 
+ b
3
.
Иккинчидан, икки ҳадни тўртинчи, бешинчи 
ва ҳоказо даражали формулаларини олиш 
мумкинми?. Албатта мумкин. Уларни кетма – кет 
кўпҳадни ўнг томонига a + b кўпҳадни 
кўпайтириш натижасида ҳосил қилинади, масалан, 
(a + b)
4
= (a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2 
+ b
3
) · (a + b) = a
4
+ 4a
3
b 
+ 6a
2
b
2 
+ 4ab
3
+ b
4
. 
Бу айниятнинг ўнг томонини a + b га 
кўпайтириб икки ҳаднинг бешинчи даражасига эга бўламиз: (a +b)
5
= (a
4
+ 4a
3
b 
+ 6a
2
b
2 
+ 4ab
3
+ b
4
) · (a +b) = a
5
+ 5a
4
b + 10a
3
b
2 
+ 10a
2
b
3
+ 5ab
4
+ b
5
. 
n нинг турли қийматларида икки a + b ҳаднинг n – чи даражали 
формуладаги қонун - қоидани англаш учун, уларни n = 1 дан бошлаб ва n = 5 
гача ѐзамиз.
(a + b)
1
= a + b, (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
, (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2 
+ b
3
,
(a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2 
+ 4ab
3
+ b
4
, (a +b)
5
= a
5
+ 5a
4
b + 10a
3
b
2 
+ 10a
2
b
3
+ 5ab
4
+ b
5
. 
Бу формулаларни кўздан кечириб, уларнинг ҳар 
бирини ўнг томонига n + 1 чи ҳадли кўпҳад 
ѐзилганлигини кўриш мумкин, бу ерда n иккиҳаднинг 
даража кўрсатгичи. Кўпҳаднинг ўнг томони а
n
га тенг, 
яъни а
n
ва b
0
нинг кўпайтмасига тенг. шундан сўнг ҳар 
бир кейинги ҳадга ўтишда а нинг даража кўрсатгичи 1 га 
камаяди, b нинг даража кўрсатгичи эса 1 га ортади, яъни 
ҳар бир қўшилувчида даража кўрсатгичлар йиғиндиси n 
га тенг. Бу ерда коэффициент билан боғлиқ масала мураккаброқ. Уни ҳосил 
қилиш учун масаладаги қонун-қоидани аниқлаш учун, тартиб билан битта 
қаторга кўпҳаднинг коэффициентларини аввал n = 1 ва n = 3 да ѐзамиз.
Иккинчи қаторда биринчи ва охирги коэффициентлар 1 га тенг. иккинчи 
коэффициентни унда ѐзилган 1 ва 2 сонларни, учунчисини 2 ва1 ни қўшиш 
натижасида ҳосил қилиш мумкин. Шу қоида бўйича n = 3 қатордан 4-чи 
қаторни ҳосил қиламиз:
Шу тариқа 1 4 6 4 1 қатордан a + b икки ҳадни бешинчи даражага 
кўтаришда ҳосил бўлган коэффициентли қаторни ѐзиш мумкин:

---

457 
Бу қонун қоидаларни юқорида келтирилган a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2 
+ b
3 
ва a
4
+ 
4a
3
b + 6a
2
b
2 
+ 4ab
3
+ b
4
кўпҳадларни a + b иккиҳадга кўпайтириш мисоллари 
асосида тушунтириш мумкин. 
Агар қаторга n = 0 ни қўшсак ( а ≠ 0 ѐки b ≠ 0 да), унда барча қатордаги 
коэффициентларни учбурчпк кўринишида ѐзиш мумкин: 
Унда ѐн томонлар 1 рақамидан иборат, қолган барча сонлар улар устида 
ѐзилган икки соннинг йиғиндисига тенг. Бу учбурчак машҳур француз олими 
математик, физик, файласоф, Блез Паскал (1623 -1662) номи билан ―Об 
арифметическом треугольнике‖ асарида баѐн этилган Паскал учбурчаги 
дейилади. Юқоридаги қонун – қоидаларга кўра ѐзувдарни давом эттириб, биз n 
=6, 7, 8 ва ҳоказолар учун қатордаги коэффициентларни ҳосил қилишимиз 
мумкин: (a + b)
n
 = a
n
+ na
n - 1
b + … + nab
n - 1 
+ b
n
. Берилган n учун кўпҳаднинг 
коэффициентини бирданига топиш имкони бор.
Паскал учбурчагининг яна бир муҳим жиҳати шундаки, 
n = 0, n = 1, n = 2 ва ҳоказода коэффициентлар йиғиндиси 
мос равишда 2
0
, 2
1
, 2
2
, 2
3
га тенг ва ҳоказо. Умуман (a + b)
n
 
= a
n
+ na
n - 1
b + … + nab
n - 1 
+ b
n
тенгликда кўпҳаднинг 
коэффициентлари йиғиндиси 2
n
га тенг. Унга ишонч ҳосил 
қилиш учун тенгликда а = 1 ва b = 1 ни қўйиш керак бўлади. 
Пьер Ферма (1601 – 1665) француз математиги, аналитик геометрия ва 
сонлар назариясинин яратувчиларидан бири. Бир неча ўзгарувчили алгебраик 
тенгламаларни ечиш назарияси билан шуғулланган. 
Ўқувчилар буюк грек математиги Евклид 
ўзининг негизлар номли асарида (эрамизгача 3 асрда 
яшаган) юқоридаги мавзу билан боғлиқ бўлган (a + 
b)(c + d) = ac + bc + ad + bd тенгликнинг ўринли 
бўлишини чизма ѐрдамида исботлаганлигини ѐддан 
чиқамасликлари керак.