Designing Sound

4.3 Complex Harmonic Oscillators
49
λ/2
λ
+
2λ
Fundamental
First overtone (second harmonic)
Second overtone (third harmonic)
Third overtone (fourth harmonic)
f + 2f + 3f
Plucked near end
Plucked in middle
Actual vibration
Superposition
3
2 λ
Figure 4.8
Vibrational modes of a string and a snapshot of the actual vibration pattern that results.
Oscillation of a Bar or Rod
Formulas for vibrating bars are given in Olson, Elmore and Heald (1969), and
Benson (2006). For a deeper understanding you should refer to these textbooks.
There are four cases to consider, a bar supported at one end, a bar supported
at both ends, a bar resting on a central support, and a completely free bar.
Let’s deal with the more common ones, a free bar and a bar clamped at one
end, as shown in figure 4.9. We assume the bar or rod is uniform in material
and cross-sectional area. The first thing to calculate is an intermediate value
called the
radius of gyration
(
R
). For a circular rod
R
=
a/
2 for a radius
a
. If
the rod is hollow then
R
=
√
a
2
+
b
2
2
(4.13)
for an inner radius
a
and outer radius
b
. For a rectangular bar,
R
=
a
√
12
(4.14)
With
R
we can easily get the fundamental as shown next. But to get the other
harmonics is more difficult. They are not in a nice series like
f
, 2
f
. . . We need

---