Designing Sound

4.2 Simple Harmonic Oscillators
47
+
−
−
−
+
0
0
0
0
+
0
0
Figure 4.7
Electrical oscillator based on inductance and capacitance.
the circuit both elements are in parallel. In a closed network all voltages and
currents must add up to zero (called Kirchhoff’s law), so we get an unstable
equilibrium just like with the force and kinetic energy in a mass and spring.
Assume some potential is briefly applied to give a charge
Q
to the capacitor
and then removed. In the initial condition the capacitor has a charge (+ and
−
), and the inductor has no current flowing through it. Electrons flow from the
negative (
−
) side of the capacitor shown in the left part of figure 4.7 toward the
positive plate until the capacitor’s plates are discharged. When current
I
, which
is the rate of change of charge
dQ/dt
, flows into or from a capacitor it changes
the voltage on it (since
I
=
CdV /dt
), and when the current flowing through an
inductor changes,
dI/dt
, the voltage across it changes,
V
=
LdI/dt
. In other
words, the voltage across an inductor is proportional to the rate of change of
current through it, and the current flowing onto a capacitor plates is propor-
tional to the rate of change of voltage. Like the mass and spring, these act in
opposite directions
. A magnetic field builds up around the inductor generating
a voltage equal and opposite to the electron flow from the capacitor. Once the
capacitor is completely discharged through the inductor, no current flows and
the magnetic field collapses. This change generates a new voltage (it gives back
the energy it holds) to recharge the capacitor. This process repeats, causing an
oscillation; the capacitor begins to discharge through the coil again, regenerat-
ing the magnetic field again, and so forth. The differential equation is
d
2
I
(
t
)
dt
2
=
−
1
LC
I
(4.10)
which can be solved to give current as a function of time
I
=
I
a
cos
ωt
in which
ω
= 1
/
√
LC
. Rewriting this for frequency gives us
f
=
1
2
π
√
LC
(4.11)

---