Yahya Ghasemi Print III pdf

2. PARTICLE PACKING MODELS
As mentioned above, it is of extreme importance to minimize voids for optimising concrete 
mixes. In order to fulfil this requirement it is vital to select an acceptably accurate packing 
model to estimate the packing density. A number of particle packing models were developed 
over the past 80 years. However, some of them were proved to be unsuitable for concrete mix 

---

87
constituent proportioning [11, 12]. Among the remaining models, three of more common ones 
were chosen and are described briefly in the following sections.
2.1. Modified Toufar
According to Toufar et al. [13] the packing density depends on the diameter ratio of the two 
particle class that are to be mixed. It is assumed that each of fine particles is placed between 
exactly four of the course particles. The Toufar model was later modified by Golterman et al.
[14] since it was shown that the original model predicts that the packing density of a sample of 
coarse particles does not increase when a small amount of fine particles is added to the coarse 
particles, which is in contrast with reality. 
The required input data for Modified Toufar model includes packing density 
ij
and characteristic 
diameter 
d
char
of each material that is used in the combination. Modified Toufar model can be 
used for estimating packing density of a multicomponent system. However, calculation of multi-
component mixtures based on this procedure tends to underestimate the packing density [15].
On the other hand Modified Toufar model is fairly easy to use and can be implemented in a 
spreadsheet with a little effort. 
2.2. 4C Model 
4C is a computer program developed by Danish Technological Institute and is based on the 
Linear Packing Density Model (LPDM). The Linear Packing Density Model can be used to 
optimize the grading curve of a concrete mixture. The key elements of the LPDM used to 
determine packing density are:
i. Calibrate the eigenpacking density 
a
i
of each constituent material
ii. Calculate 
a
i
of combination for each clustered size class 
d
i
iii. Calculate 
y
i
(volume) of combination for each clustered size class 
d
i
iv. Claculate the total packing density
The Linear Packing Density Model can predict the packing density for several particle classes, 
which makes the model suitable for real concrete mixtures [10].
The accuracy of the model 
depends on interaction formulas which are relations derived from the packing density of two-
component mixtures [16, 17]. 4C packing model uses
ȝ
-value as an interaction factor which 
indicates possible maximum ratio (size) between small and large particles without the smaller 
particle interfering with the packing of the larger particles. For the purpose of this study three 
values of 
ȝ
were compared to actual data obtained from laboratory tests. It should be mentioned 
that 
ȝ
is an empirical value and needs to be calibrated based on the laboratory data.