Moluch 251 c indd

r
, 
Ω
, 
E
, 
t
) = [см
-2
· с
-1
· ср
-1
· эВ
-1
]. Введем плотность нейтронов 
N
(
r
, 
Ω
, 
E
, 
t
) = [см
-3
· ср
-1
· эВ
-1
], 
,
v
v





где 
v
— средняя скорость нейтрона. 




, , ,
·
, , , .
Ф r
E t
v N r
E t







 
Составим уравнение баланса нейтронов [1]. Предположим, что изменение плотности d
N
за единицу времени d
t
обусловлено разностью скоростей прибыли и убыли нейтронов в элементарном объеме d
V
= d
x
· d
y
· d
z
: 

 

d
.
d
N
убыль нейтронов
прибыль нейтронов
t
 

Распишем полную производную в левой части: 
d
· ,
d
N
N
N r
t
t
r
t

 



 


 
d
1
·
.
d
N
Ф
Ф
t
v t







 
Убыль: 
Поглощение нейтронов (скорость реакции поглощения) в элементарном объеме 
Σ
a
Ф, где 
Σ
a
= [см
-1
] — 
макроскопическое сечение поглощения; 
Нейтрон может изменить направление полета 
Ω
→
Ω''
или скорость 
E
→
E''
в результате упругого рассеяния на 
атомах среды 
Σ
s
Ф, где 
Σ
s
— макросечение рассеяния. 
Прибыль: 
За счет деления тяжелых ядер (скорость реакции деления) 
ν
f
Σ
f
Ф в единичном объеме, где 
Σ
f
— макросечение 
деления; 
ν
f
— число нейтронов, рожденных при одном акте деления; 
За счет дополнительных радионуклидных источников 
Q
для безопасного пуска реактора; 
За счет попадания нейтрона из вне в рассматриваемый элементарный объем 
Ω
→
Ω'
, 
E
→
E'
: 

 

, , ,
, , , d d d ,
s
s
E
Ф r
E t w r
E t E




 





где 
w
s
— плотность вероятности того, что нейтрон в процессе рассеяния поменяет вектор скорости 
v
→
v'
. 
Рассмотрим стационарный случай: 
0.
N
t



Тогда уравнение баланса нейтронов примет вид: 
 
·
d d d
.
s
s
tot
E
Ф Q
Фw E
Ф



  

 



(1) 
Рассмотрим эквивалентную расчетную ячейку Вигнера-Зейтса, характеризующую поперечное сечение 
цилиндрической трубки твэла омываемого теплоносителем (рис. 1). 
Задаем граничные условия: 
Условие симметрии плотности потока нейтронов на границе 
r
= 
R
4
и в центре 
r
= 0 (плотность потока нейтронов 
спадает от центра к периферии одинаковым образом во всех направлениях): 
0
d
0,
d
r
Ф
r


4
d
0.
d
r R
Ф
r


Условие непрерывности плотности потока нейтронов на границе раздела двух сред (отсутствие разрыва 
в распределении плотности потока): 
 
 
1
1
2
1
,
Ф R
Ф R

 
 
2
2
3
2
,
Ф R
Ф R

 
 
3
3
4
3
.
Ф R
Ф R

Уравнение (1) не имеет аналитического решения. Решение этого уравнения реализуется множеством программ 
различными методами. Например, программа «WIMS32D4» [3], реализует решение уравнения переноса в 69-
групповом приближении (весь диапазон кинетической энергии МэВ возможного излучения нейтронов разделён на 69 

---

“Young Scientist”
. 
#13 (251)
. 
March 2019
17
Physics
Рис.
 
1.
 Расчетная ячейка твэла:
R
1
 — радиус топливной таблетки, R
2
 — зазор, R
3
 — оболочка твэла, R
4
 — теплоноситель
Введем геометрический объем 
r
= (
x
, 
y
, 
z
), где 
x
, 
y
, 
z
— координаты нейтрона; 
Ω
= (
φ
, 
θ
) — единичный вектор, 
характеризующий направление полета нейтрона, где 
φ
, 
θ
— полярный (азимутальный) и аксиальный (зенитный) углы 
соответственно; кинетическую энергию 
E
; время 
t
. 
Введем пространственно-временную дифференциальную энергетически угловую плотность потока нейтронов Ф (
r
, 
Ω
, 
E
, 
t
) = [см
-2
· с
-1
· ср
-1
· эВ
-1
]. Введем плотность нейтронов 
N
(
r
, 
Ω
, 
E
, 
t
) = [см
-3
· ср
-1
· эВ
-1
], 
,
v
v





где 
v
— средняя скорость нейтрона. 




, , ,
·
, , , .
Ф r
E t
v N r
E t







 
Составим уравнение баланса нейтронов [1]. Предположим, что изменение плотности d
N
за единицу времени d
t
обусловлено разностью скоростей прибыли и убыли нейтронов в элементарном объеме d
V
= d
x
· d
y
· d
z
: 

 

d
.
d
N
убыль нейтронов
прибыль нейтронов
t
 

Распишем полную производную в левой части: 
d
· ,
d
N
N
N r
t
t
r
t

 



 


 
d
1
·
.
d
N
Ф
Ф
t
v t







 
Убыль: 
Поглощение нейтронов (скорость реакции поглощения) в элементарном объеме 
Σ
a
Ф, где 
Σ
a
= [см
-1
] — 
макроскопическое сечение поглощения; 
Нейтрон может изменить направление полета 
Ω
→
Ω''
или скорость 
E
→
E''
в результате упругого рассеяния на 
атомах среды 
Σ
s
Ф, где 
Σ
s
— макросечение рассеяния. 
Прибыль: 
За счет деления тяжелых ядер (скорость реакции деления) 
ν
f
Σ
f
Ф в единичном объеме, где 
Σ
f
— макросечение 
деления; 
ν
f
— число нейтронов, рожденных при одном акте деления; 
За счет дополнительных радионуклидных источников 
Q
для безопасного пуска реактора; 
За счет попадания нейтрона из вне в рассматриваемый элементарный объем 
Ω
→
Ω'
, 
E
→
E'
: 

 

, , ,
, , , d d d ,
s
s
E
Ф r
E t w r
E t E




 





где 
w
s
— плотность вероятности того, что нейтрон в процессе рассеяния поменяет вектор скорости 
v
→
v'
. 
Рассмотрим стационарный случай: 
0.
N
t



Тогда уравнение баланса нейтронов примет вид: 
 
·
d d d
.
s
s
tot
E
Ф Q
Фw E
Ф



  

 



(1) 
Рассмотрим эквивалентную расчетную ячейку Вигнера-Зейтса, характеризующую поперечное сечение 
цилиндрической трубки твэла омываемого теплоносителем (рис. 1). 
Задаем граничные условия: 
Условие симметрии плотности потока нейтронов на границе 
r
= 
R
4
и в центре 
r
= 0 (плотность потока нейтронов 
спадает от центра к периферии одинаковым образом во всех направлениях): 
0
d
0,
d
r
Ф
r


4
d
0.
d
r R
Ф
r


Условие непрерывности плотности потока нейтронов на границе раздела двух сред (отсутствие разрыва 
в распределении плотности потока): 
 
 
1
1
2
1
,
Ф R
Ф R

 
 
2
2
3
2
,
Ф R
Ф R

 
 
3
3
4
3
.
Ф R
Ф R

Уравнение (1) не имеет аналитического решения. Решение этого уравнения реализуется множеством программ 
различными методами. Например, программа «WIMS32D4» [3], реализует решение уравнения переноса в 69-
групповом приближении (весь диапазон кинетической энергии МэВ возможного излучения нейтронов разделён на 69 
Введем геометрический объем 
r
= (
x
, 
y
, 
z
), где 
x
, 
y
, 
z
— координаты нейтрона; 
Ω
= (
φ
, 
θ
) — единичный вектор, 
характеризующий направление полета нейтрона, где 
φ
, 
θ
— полярный (азимутальный) и аксиальный (зенитный) углы 
соответственно; кинетическую энергию 
E
; время 
t
. 
Введем пространственно-временную дифференциальную энергетически угловую плотность потока нейтронов Ф (
r
, 
Ω
, 
E
, 
t
) = [см
-2
· с
-1
· ср
-1
· эВ
-1
]. Введем плотность нейтронов 
N
(
r
, 
Ω
, 
E
, 
t
) = [см
-3
· ср
-1
· эВ
-1
], 
,
v
v





где 
v
— средняя скорость нейтрона. 




, , ,
·
, , , .
Ф r
E t
v N r
E t







 
Составим уравнение баланса нейтронов [1]. Предположим, что изменение плотности d
N
за единицу времени d
t
обусловлено разностью скоростей прибыли и убыли нейтронов в элементарном объеме d
V
= d
x
· d
y
· d
z
: 

 

d
.
d
N
убыль нейтронов
прибыль нейтронов
t
 

Распишем полную производную в левой части: 
d
· ,
d
N
N
N r
t
t
r
t

 



 


 
d
1
·
.
d
N
Ф
Ф
t
v t







 
Убыль: 
Поглощение нейтронов (скорость реакции поглощения) в элементарном объеме 
Σ
a
Ф, где 
Σ
a
= [см
-1
] — 
макроскопическое сечение поглощения; 
Нейтрон может изменить направление полета