|
§ 13.2. Massasi tekis taqsimlangan yuzaning (zichligi
1
bo’lganda) og’irlik markazi va inertsiya
momentlari
Massasi tekis taqsimlangan S yuzaning og’irlik markazi koordinatalari:
S
ydxdy
y
S
xdxdy
x
c
c
,
(13.14)
S yuzaning inertsiya momentlari:
)
(
2
0
)
(
2
)
(
2
,
,
S
S
y
S
x
dxdy
r
I
dxdy
x
I
dxdy
y
I
(13.15)
“A” guruh
Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan yuzaning og’irlik markazi topilsin:
13.57
.
0
y
va
x
y
sin
sinusoidaning bitta yarim to’lqini.
13.58
.
0
,
4
,
2
y
x
x
y
13.59
.
ax
y
2
va
.
13.60
.
va
0
y
.
“
В
” guruh
13.61.
3
2
3
2
3
2
a
y
x
astroida va
Ox
o’q bilan chegaralangan yuzaning og’irlik markazi.
Quyidagilarning og’irlik markazlari aniqlansin :
13.62
.
0
,
,
2
y
a
x
ax
y
lar bilan chegaralangan parabola yarim segmentining (
bo’lganda).
13.63
.
Ox
o’q bilan kesilgan
1
2
2
2
2
b
y
a
x
yarim ellisning.
“
С
” guruh
13.64
.
x
y
a
x
a
y
2
,
2
va
0
x
chiziqlar bilan chegaralangan yuzaning
Oy
o’qqa nisbatan inertsiya
momenti aniqlansin.
13.65
. Uchlari
A
(1;1),
B
(2;1),
C
(3;3) nuqtalarda bo’lgan uchburchak yuzining
Ox
o’qqa nisbatan inertsiya
momenti aniqlansin.
§ 13.3. Uch o’lchovli integral va uning tadbiqi
Agar (V) soha
y
x
z
z
y
x
z
x
y
y
x
y
b
x
a
,
,
,
,
1
2
1
1
2
1
tengsizliklar bilan
aniqlangan bo’lsa, u holda
)
(
,
,
2
1
2
1
,
,
,
,
V
y
x
z
y
x
z
x
y
x
y
b
a
dz
z
y
x
F
dy
dx
dxdydz
z
y
x
F
1
,
,
z
y
x
F
bo’lganda V ning hajmi hosil bo’ladi. Hajmi V ga teng bo’lgan bir jinsli jismning og’irlik
markazi koordinatalari quyidagi formulalar bilan topiladi:
x
y
2
2
2
a
y
x
0
y
V
c
V
c
ydxdydz
V
y
xdxdydz
V
x
1
,
1
va hokazo.
13.66.
2
2
2
2
2
2
,
y
x
a
az
y
x
az
sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmi aniqlansin.
13.67.
2
2
2
2
2
2
2
,
0
a
z
y
x
z
y
x
sirtlar bilan chegaralangan jismning konus ichidagi
qismining hajmi aniqlansin.
13.68.
0
2
2
2
z
y
x
konus sirti
az
z
y
x
2
2
2
2
sharning hajmini 3:1 nisbatda bo’lishi ko’rsatilsin.
13.69. Yoqlari
0
,
0
,
0
,
z
y
x
a
z
y
x
tekisliklar bilan tashkil etilgan piramidaning har bir
nuqtasidagi zichlik shu applikatasi z ga teng. Piramidaning massasi aniqlansin.
Quyidagi sirtlar bilan chegaralangan bir jinsli jismning og’irlik markazi aniqlansin:
13.70.
0
,
0
,
0
,
z
y
x
a
z
y
x
13.71.
0
,
2
2
2
z
y
x
a
az
Quyidagi uch o’lchovli integralni hisoblang.
13.72.
3
0
2
0
1
0
dz
dy
dx
13.73.
c
b
a
dz
z
y
x
dy
dx
0
0
0
13.74.
y
x
a
xyzdz
dy
dx
0
0
0
13.75.
xy
x
a
zdz
y
x
dy
dx
0
3
3
0
0
13.76.
z
y
x
x
e
e
dz
e
y
x
e
x
y
x
z
dy
dx
0
1
0
1
0
ln
Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning ta’rifi,
ularning xossalari va ularni hisoblash. Grin formulasi. Egri
chiziqli integral yordamida yuzani hisoblash. Egri chiziqli
integrallarning integrallash yuliga bog‘liq bo’lmasligi sharti.
Egri chiziqli integrallarni geometriya va mexanika
masalalarini echishga tadbiqlari.
Birinchi tur egri chiziqli integrallar
xOy
tekislikning biror
D
sohasida tenglamasi
b
x
a
x
y
bo’lgan
L
silliq chiziq
to’laligicha joylashgan (yotgan) bo’lsin.
y
x
f
,
funksiya shu
L
chiziqdagi
AB
yoyining har bir nuqtasida
aniqlangan va uzluksiz bo’lsin.
AB
yoyni
B
A
A
A
A
A
n
,...,
,
,
2
1
0
nuqtalar yordamida uzunliklari
n
l
l
l
,...,
,
2
1
bo’lgan
n
ta ixtiyoriy bo’laklarga bo’lamiz. Bu bo’laklarning har birida ixtiyoriy ravishda
n
i
l
y
x
M
y
x
M
y
x
M
y
x
M
i
i
i
i
n
n
n
,
1
,
,
,
,...,
,
,
,
2
2
2
1
1
1
nuqtalarni tanlab olamiz. Tanlab
olingan nuqtalarning har birida
y
x
f
,
funksiyaning qiymatlarini hisoblab
n
i
i
i
i
n
n
n
l
y
x
f
l
y
x
f
l
y
x
f
l
y
x
f
1
2
2
2
1
1
1
,
,
...
,
,
(13.16)
yig’indini tuzamiz. Hosil bo’lgan bu yig’indi
L
chiziqning
AB
yoyida
y
x
f
,
funksiyaning integral
yig’indisi deyiladi. Bu yerda shuni ta’kidlash kerakki, har qanday berilgan
y
x
f
,
funksiya va
AB
yoy
uchun bu yoyni har xil ko’rinishda n ta bo’lakka bo’lib, ularda bittadan
i
i
l
M
nuqtalarni tanlab olish
mumkin. Bu yerda shuni ta’kidlash kerakki, har qanday berilgan
y
x
f
,
funksiya va
AB
yoy uchun bu
yoyni har xil ko’rinishda n ta bo’lakka bo’lib, ularda bittadan
i
i
l
M
nuqtalarni tanlab olish mumkin.
y
(D)
B
A
13.6- shakl
Natijada (13.16) ko’rinishdagito’g’riintegralyig’indilarnituzaolamiz. nnicheksizorttirib,
0
max
i
n
l
(*)
bo’lganda (13.16) integral yig’indining limitini (agar mavjud bo’lsa) hisoblash mumkin.
Ta’rif: (*) shartlar asosida (13.16) ko’rinishdagi integral yig’indilarning limiti mavjud bo’lib, u
yagona bo’lsa, bu limit
y
x
f
,
funkiyadan
AB
yoy bo’yicha olingan I tur egri chiziqli integral deyiladi va
1
0
max
,
lim
,
i
i
i
i
l
AB
l
y
x
f
dl
y
x
f
i
n
(13.17)
ko’rinishda yoziladi. Bu yerda
dl
-yoy differensiali deyiladi va
2
2
dy
dx
dl
formula yordamida
hisoblanadi.
I tur egri chiziqli integralni hisoblashda quyidagi hollar bo’lishi mumkin.
1. Agar L chiziqdagi AB yoyning tenglamasi
b
x
a
x
y
ko’rinishda bo’lsa, u holda
(13.17) I tur egri chiziqli integral
dx
x
x
x
f
dl
y
x
f
AB
AB
2
1
;
,
(13.18)
formula yordamida hisoblanadi.
2. Agar L chiziqning tenglamasi
d
y
c
y
x
ko’rinishda bo’lsa, u holda (13.17) integral
dy
y
y
y
f
dl
y
x
f
AB
AB
1
;
,
2
(13.18
/
)
formula yordamida hisoblanadi.
3.Agar L egri chiziq parametrik ko’rinishdagi
2
1
,
t
t
t
t
y
t
x
tenglamalar bilan
berilgan bo’lsa, u holda (13.17) egri chiziqli integral
dt
t
t
t
t
f
dl
y
x
f
t
t
AB
2
2
2
1
,
,
(13.19)
formula yordamida hisoblanadi.
4. Agar L egri chiziq fazoda
t
y
y
t
x
x
,
va
2
1
t
t
t
t
z
z
tenglama bilan berilgan
bo’lsa, u holda (13.17) integral
dt
t
z
t
y
t
x
t
z
t
y
t
x
f
dl
y
x
f
t
t
AB
2
2
2
2
1
,
,
,
(13.20)
formula yordamida hisoblanadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
