Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

 
8.211.
 
8.212. 
C
x
arctg
x
x
x







2
2
3
ln
2
2
2
 
8.213. 
8.214. 
C
x
x










2
/
3
1
1
8
3
 
8.215. 
C
x
x
x







5
25
5
25
ln
5
25
2
 
8.216. 















x
x
t
C
t
arctg
t
t
arctgt
1
,
3
1
2
3
2
1
ln
2
2
 
C
x
x



16
8
cos
4
2
cos
C
x

4
sin
3
8
3














1
,
1
1
ln
2
3
1
2
2
x
x
t
C
t
t
t
t
t













x
x
t
C
t
t
t
3
,
1
1
ln
2

---

8.217. 
C
x
x
x
x





1
ln
24
24
6
4
12
12
6
4
 
8.218. 














1
1
,
1
1
ln
1
2
2
x
x
t
C
t
t
t
t
 
8.219. 
C
x
arctg
x
x
x




6
6
6
5
6
6
2
5
6
 
8.220. 
C
x
x
arctg


3
2
6
2
3
6
8.221.
C
x
x
x







1
2
ln
6
2
6
2
3
6
6
3
 
 8.222. 










4
3
5
1
,
3
8
5
8
x
z
C
z
z
 8.223. 




2
/
1
3
/
2
3
1
3
x
t
C
t
t




 
8.224. 
C
x
x
x
x
x




3
3
5
6
5
2
3
2
5
18
11
72
4
 
8.225. 






C
x
x
x






3
4
16
5
4
8
7
4
2
/
3
2
2
/
5
2
2
/
7
2
 
8.226. 


















x
x
z
C
z
arctg
z
z
z
3
2
2
1
3
1
2
3
1
1
1
ln
6
1
 
8.227. 


















x
x
t
C
t
t
t
arctg
t
t
3
2
2
1
1
ln
3
1
3
1
2
3
1
1
ln
6
1
 
8.228. 








C
x
x
x
x








2
/
1
2
2
/
3
2
2
/
5
2
2
/
7
2
1
1
1
5
3
1
7
1
 
8.229


C
x
x
x
x
x





3
2
2
2
3
1
1
1
 
8.230. 
C
x
arctg
x
x







4
3
4
3
4
3
1
3
2
1
1
1
1
ln
3
1
 
Aniq integralga keltiriluvchi masalalar. Aniq 
integralning ta’rifi va uning asosiy xossalari. Nyuton-
Leybnits formulasi. Aniq integralda o’zgaruvchini 
almashtirish. Bo’laklab integrallash. 
 
ANIQ INTEGRAL
§ 9.1. Aniq integralni hisoblash 
 
1.
[a,b] kesmada 
 
x
f
funksiya aniqlangan bo’lsin. [
a
,b] oraliqni 
b
x
x
x
a
n





...
1
0
nuqtalar bilan n ta 
bo’laklarga ajrataylik. Har bir [
i
i
x
x
,
1

] kesmadan bittadan 




i
i
i
i
x
x
1




nuqta olib, 
 





n
i
i
i
x
f
J
1

yig’indi 
tuzamiz, bunda 
1




i
i
i
x
x
x
. 
J

-ko’rinishdagi yig’indi,integral yig’indi deyiladi. Uning 
0
max


i
x
dagi 
limiti, (u mavjud va chekli bo’lsa) 
 
x
f
funksiyaning 
a
dan 
b
gacha aniq integrali deyiladi hamda
 
 







b
a
n
i
i
i
x
x
f
dx
x
f
i
1
0
max
lim

(9.1) 
ko’rinishida yoziladi.
2
.Aniq integralning xossalari.
1) 
 
 


const
dx
x
f
dx
x
f
b
a
b
a







;
; (9.2) 

---

2) 
   


 
 






b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
; (9.3) 
3) 
 
 




a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
; (9.4) 
4) 
 
0


a
a
dx
x
f
; (9.5) 
5) 
 
 
 





b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
; (9.6) 
6) Agar 
 
x
f
y

funksiya [
a
,b] kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda 
 
b
a
,


topiladiki,
 
 

a
b
f
dx
x
f
b
a




; (9.8) 
bo’ladi. 
8) Agar 
 
x
f
y

juft funksiya bo’lsa, u holda 
 
 




a
a
a
dx
x
f
dx
x
f
0
2
; (9.8) 
8) Agar 
 
x
f
y

toq funksiya bo’lsa, u holda 
 
0



a
a
dx
x
f
(9.9) 
3.
Aniq integral Nyuton-Leybnits
 
 
 
 
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a




(9.10)
formulasi orqali hisoblanadi. 
4
. 
 

b
a
dx
x
f
integralni hisoblash uchun 
 






t
t
x
,
almashtirishni qo’llaymiz. Agar [


;
] kesmada 
 
 
 
 
t
f
t
t
x



,
,


funksiyalar uzluksiz va 
 
 
b
a






,
bo’lsa, quyidagi
 
   










dt
t
t
f
dx
x
f
b
a
(9.11) 
tenglik o’rinli. 
5.
[a,b] kesmada 
 
 
x
x
u
u




,
funksiyalar uzluksiz hosilalarga ega bo’lsa, quyidagi bo’laklab integrallash 
formulasi o’rinli bo’ladi: 




b
a
b
a
b
a
du
u
ud



(9.12) 
 
“
A”guruh 
Integrallarni hisoblang (Nyuton – Leybnis formulasini qo’llash yo’li bilan). 
9.1
а
)


1
0
2
1
x
xdx
в
)
dx
x


1
0
1
9.2






1
2
2
5
11
x
dx
9.3 





13
2
5
4
3
x
dx
9.4 



3
0
1
1
dy
y
y
9.5 
dt
T
t
T








2
/
0
0
2
sin


9.6 



16
0
9
x
x
dx
9.8 


dx
e
e
x
x


1
0
4
1
9.8 







2
0
0
26
3
a
b
x
dx

---

9.9 




1
0
2
2
1
x
xdx
9.10 
 


e
x
x
dx
1
2
ln
1
9.11 


e
dx
x
x
1
lg
1
9.12 

2
1
2
/
1
x
dx
e
x
9.13



n
a
n
n
x
a
dx
x
2
/
0
2
2
1
9.14 


3
1
ln
1
e
x
x
dx
9.15 







 
2
/
3
2
/
1
4
4
3
8
5
8
5
x
x
dx
x
9.16






2
/
0
2
a
a
x
a
x
adx
9.18 



3
2
2
2
3
2
x
x
dx
9.18 



1
0
2
5
4
x
x
dx
9.19


2
1
3
x
x
dx
9.20 




1
5
,
0
2
2
8
x
x
dx
“B”guruh 
9.21 



2
/
2
/
cos
1


x
dx
9.22

2
/
0
5
2
sin
cos

xdx
x
9.23 
dx
x
x



2
/
2
/
3
cos
cos


9.24








/
0
0
2
sin
dx
t
9.25 



4
/
2
/
3
3
sin
cos


x
xdx
9.26 

4
/
0
4



d
ctg
9.28 



/
2
/
1
2
1
sin
dx
x
x
9.28 







 
2
/
2
/
4
2
sin
cos



dt
t
t
9.29 

8
/
12
/
2
2
cos


x
dx
9.30 
dx
x



0
1
3
2
9.31 


3
1
3
4
x
dx
9.32 









1
0
2
1
1
5
dx
x
9.33 










2
/
3
0
2
2
3
4
1
3
dx
x
x
9.34 
dx
e
x



2
2
4
3
9.35 








6
/
2
/
4
cos
2
1
3
sin


dx
x
x
9.36 


2
0
2
4
2
x
dx
9.38 







2
3
2
2
9
x
dx
9.38



6
5
2
4
3
x
x
dx
9.39 



2
/
2
/
cos
1
sin


x
xdx
9.40 


1
0
2
8
3
x
xdx
9.41 








4
0
4
1
dx
e
x
9.42 


4
1
1
dx
x
x
9.43 



7
1
4
3
x
dx
9.44 




1
1
3
1
dx
x
9.45 


5
1
2
3
x
dx
9.46 




1
0
3
1
2
z
dz
9.48 


0
2
3
cos
2
cos
dx
x
x
9.48 


5
0
3
1
x
xdx
9.49 



3
ln
2
ln
x
x
e
e
dx
9.50 


2
/
0
cos
2



d
9.51 


1
0
2
2
x
y
dx
x
9.52 


a
dx
x
a
x
0
2
2
2
9.53 




1
0
1
ln
dx
x
9.54 


3
2
2
a
a
x
a
dx
9.55 


1
0
2
1
x
dx
9.56 
 


3
1
2
ln
1
e
x
x
dx
9.58 



4
/
2
/
3
3
sin
cos


x
xdx
9.58 


2
/
2
0
3
2
1
x
dx
9.59 
 
dx
x
x
e

1
ln
sin

---

9.60

3
ln
2
ln
2
x
ch
dx
9.61 


1
0
8
3
1
dz
z
z
9.62 

3
/
6
/
4
2
sin
cos


x
x
dx
9.63 



3
2
2
4
5
x
x
dx
9.64 


2
1
1
x
x
e
dx
e
9.65 

3
/
6
/
4


xdx
tg
9.66 



2
0
1
2
1
2
dx
x
x
9.68 

3
2
ln
e
e
x
x
dx
9.68 





3
/
4
/
2
2
1
1


dx
tgx
x
tg