100 лет со дня рождения

Раздел IV
О теореме выпуклости Ляпунова

---

.

---

255
Комментарий Н.А. Ляпуновой
КОММЕНТАРИЙ
В 1968 году, когда отмечалось 50-летие со дня смерти А.М. Ля-
пунова и во весь голос прозвучали заслуги А.М. в мировой матема-
тике, папа (Алексей Андреевич Ляпунов) сказал мне: 
«В науке нередко бывает так, что сделанные открытия 50 и 
более лет ждут своего признания. <...>. Под влиянием Н.Н. Лузина и 
П.С. Новикова я много лет работал в области дескриптивной теории 
множеств. Мне удалось получить результаты, которые можно счи-
тать последними кирпичиками, вложенными в стройное здание тео-
рии этого направления. Однако, кроме этого, у меня есть цикл работ 
в области теории функций, посвящённый изучению свойств «вполне 
аддитивных вектор-функций» и примыкающая к этому циклу статья
«О выборе из конечного числа законов распределения», которые пока 
недостаточно оценены математической общественностью. Я думаю, 
что лет через 20
–
30 эти работы будут востребованы, поскольку они 
открывают новое направление
 в области метрической теории мно-
жеств и создают широкие возможности для
практических приложе-
ний
. Я считаю, что это самое интересное и важное, что мне до сих 
пор удалось сделать…».
И действительно, уже к концу 70-х годов, когда готовилось 
посмертное издание избранных трудов Алексея Андреевича, этот 
цикл работ получил значительное признание. К первому тому тру-
дов «Вопросы теории множеств и теории функций» фундаменталь-
ная вводная статья была написана коллегами Алексея Андрееви-
ча 
–
В.Я Арсениным, З.И. Козловой и А.Д. Таймановым. Однако 
в этом обзоре цикл работ по теории функций практически не был 
отражён. Авторы обзора аргументировали это тем, что они не яв-
ляются достаточно компетентными специалистами в этой области. 
Тогда, в процессе редподготовки тома, я обратилась к моему двою-
родному брату математику Аскольду Георгиевичу Хованскому (ны-
не он профессор университета в Торонто) с просьбой сформули-
ровать, по возможности кратко, характеристику и значимость это 
цикла работ Алексея Андреевича. В ответ Аскольд предложил 
текст, который показался мне очень выразительным. Привожу его 
полностью. 

---

256
IV. О ТЕОРЕМЕ ВЫПУКЛОСТИ ЛЯПУНОВА
«
Некоторые математические теоремы сродни законам природы. 
Раз открытые, они уже не уходят из поля зрения учёных. К ним по-
стоянно возвращаются, находят всё новые и новые применения и до-
казательства. К числу таких теорем относится теорема А.А. Ляпу-
нова о множестве значений аддитивной вектор-функции множеств. 
Трудно перечислить все её приложения: они относятся и к матема-
тической статистике, и к математической экономике. Обзор иссле-
дований, исходной точкой для которых послужила эта теорема, 
можно найти в статье В.И. Аркина и В.Л. Левина (УМН, 1972, т.27, 
вып. 3)». 
С согласия авторов вводной статьи этот текст был включён в 
их обзор, но от предложения соавторства Аскольд, естественно, от-
казался. 
Дополнительные подтверждения отношения Алексея Андрее-
вича к значению его цикла работ по теории функций можно найти 
в воспоминаниях, публикуемых в настоящей книге (см. в разделе 
VI воспоминания Г.Ш. Фридмана, А.Г. Хованского, а также пись-
мо В.И. Амстиславского от 30.05.1974 г. в очерке Б.А. Трахтенбро-
та «Алексей Андреевич и Володя» в разделе V). В настоящее время 
«теорема выпуклости Ляпунова» (Lyapunov convexity theorem) проч-
но вошла в анналы мировой математики и широко используется в 
практических целях. Этим определяется решение составителей дан-
ной книги опубликовать здесь статьи А.Н. Ляпунова и С.С. Кута-
теладзе, выделив их в особый раздел. 
Н.А. Ляпунова

---

257
Теорема А.А. Ляпунова о выпуклости значений мер
А.Н. Ляпунов