* Цыганов Шамиль Ирекович – к ф. м н., доцент, заместитель декана по научной работе математического факультета

j
, построим на рис. 1 график 
функции y = P
j
(θ), который называется характери-
стической кривой j-ого задания и имеет вид: 
Рис. 1 Характеристические кривые заданий теста. 
Заметим, что на данной координатной плоско-
сти мы построили графики функций y = P
j
(θ) для 
двух различных значений β'
j
 < β
j
. Очевидно, что 
меньшему значению параметра β'
j
соответствует 
левая кривая, а β
j
– правая. Это означает, что чем 
проще задание и меньше ее уровень трудности, тем 
выше вероятность ее решения. 
На данной координатной плоскости мы по-
строили графики функций y = P
i
(β) для двух раз-
личных значений θ'
I
< θ
i
. Очевидно, что меньшему 
значению параметра θ'
i
соответствует левая кривая, 
а θ
i
– правая. Это означает, что чем слабее испы-
туемый и меньше его уровень подготовленности, 
тем ниже вероятность решения им задания с уров-
нем трудности β. 
Рассуждениями, аналогичными проведенным 
выше, получим, что характеристическая кривая i-ого 
испытуемого, изображенная на рис. 2, имеет вид 
Рис. 2. Характеристические кривые испытуемых. 
Перейдем к политомической модели Раша. 
Пусть за выполнение j-ого задания теста испытуе-
мый может получить от 0 до m
j
баллов. Чтобы дос-
тичь высшей категории m
j
испытуемый должен 
последовательно преодолеть m
j
шагов: на первом 
шаге сначала необходимо достичь первый уровень 
в один балл, затем в шаге 2 достичь второй катего-
рии в два балла и так далее. Уровень трудности 
выполнения g-го шага j-го задания мы будем обо-
значать через β
jg
(g = 1,..., m
j
). Ясно, что трудность 
выполнения каждого шага в общем случае различ-
на. Условная вероятность 
усл
ijg
p
верного выполнения 
i-ым испытуемым в j-ом задании шага g при усло-
вии, что шаг g-1 выполнен верно, описывается ос-
новной логистической функцией успеха Раша:
jg
i
jg
i
e
e
p
усл
ijg
β
θ
β
θ
−
−
+
=
1
. 
Найдем формулу для нахождения безусловной 
вероятности p
ijg
того, что при выполнении j-го за-
дания i-ый испытуемый выполнит ровно g шагов и 
получит, таким образом, ровно g баллов. Очевидно, 
что
ijg
ijg
ijg
усл
ijg
p
p
p
p
+
=
−
1
, 
откуда
ijg
ijg
усл
ijg
усл
ijg
ijg
p
e
p
p
p
p
jg
i
⋅
=
⋅
−
=
−
−
β
θ
1
1
.
Из получен-
ного реккурентного соотношения имеем
=
⋅
⋅
⋅
=
−
−
0
1
...
ij
ijg
p
e
e
p
j
i
jg