* Цыганов Шамиль Ирекович – к ф. м н., доцент, заместитель декана по научной работе математического факультета

---

ISSN 1998-4812
Вестник Башкирского университета. 2009. Т. 14. №3 
1263 
_______________________________________ 
* Цыганов Шамиль Ирекович – к.ф.-м.н., доцент, заместитель декана по научной работе математического факультета. 
 
 
УДК 378 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ 
© Ш. И. Цыганов* 
Башкирский государственный университет 
Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32. 
Тел./факс: [phone]. 
Е-mail: [e-mail] 
В статье дается обзор математических методов педагогических измерений. Особый 
упор сделан на рассмотрении теории моделирования и параметризации тестов. Кроме того, 
описана система контроля качества обучения в Башкирском государственном университете.
Ключевые
слова: IRT, теория моделирования и параметризации тестов, модели Раша, 
шкалирование, контроль качества обучения.
Теория педагогических измерений в настоя-
щее время является бурно развивающейся обла-
стью знаний, включающей в себя как теоретиче-
ские, так и прикладные аспекты и находящейся на 
стыке педагогики, философии, математики, логики 
и статистики. Определим ее место в структуре со-
временной науки. Вся научная тематика, изучаю-
щая тесты, называется тестологией. Она подразде-
ляется на педагогическую, психологическую и со-
циальную. В англоязычной научной литературе для 
психологической тестологии используется термин 
психометрика (Psychometrics), а для педагогиче-
ской – педагогические измерения (Educational 
Measurement). Математические методы педагогиче-
ских измерений используются для обработки ре-
зультатов тестирования и проверки соответствия 
характеристик тестовых заданий и теста в целом 
научно обоснованным критериям качества. Таким 
образом, математические методы педагогических 
измерений лежат на стыке педагогики, психологии, 
математики, логики и философии. Аппарат, исполь-
зуемый в математических теориях педагогических 
измерений, относится к теории вероятностей и мате-
матической статистике и использует методы матрич-
ной и векторной алгебры, математического анализа.
Цель различных математических теорий педа-
гогических измерений в широком смысле – по-
строение математических моделей, которые в ко-
личественной форме наиболее полно и точно отра-
жают основные характеристики и параметры обра-
зовательного пространства, различных его элемен-
тов, механизмы их взаимодействия друг с другом. 
В узком смысле, который принят в современной 
науке и рассматривается далее, изучаются и рас-
сматриваются только уровень подготовленности 
учащихся и уровень трудности определенного 
класса заданий, называемых тестовыми. 
Под тестовым заданием мы будем понимать ми-
нимальную оцениваемую единицу контрольно-оценоч-
ного материала, удовлетворяющую требованиям пред-
метной чистоты проверяемого содержания, одномерно-
сти и обладающую объективными устойчивыми стати-
стическими характеристиками. Тест – это квалиметри-
чески выверенная система тестовых заданий, предназна-
ченная для измерения качеств и свойств личности.
Среди современных математических теорий 
педагогических измерений наиболее известна IRT – 
Item Response Theory (в русскоязычной литературе – 
теория моделирования и параметризации тестов). 
ТМПТ появилась в 60-е годы прошлого столетия бла-
годаря работам датского математика G. Rasch [1],
а также B. Wright [2], А. Birnbaum, R. Hambleton [3].
В IRT включаются однопараметрическая модель 
Раша, двух- и трехпараметрические модели Бирн-
баума. В последние годы прослеживается тенден-
ция проецирования модели Раша как отдельной 
теории – Rasch Measurement и отождествления на-
учных статусов RM и IRT.
Иначе обстоит дело в нашей стране, где в це-
лом наметилось серьезное отставание в сфере ма-
тематических теорий педагогических измерений
(и тестологии в целом) от многих зарубежных 
стран. Лишь начиная с 90-х гг. прошлого столетия 
по проблемам тестирования стали появляться от-
дельные работы. Тем не менее можно утверждать, 
что на сегодняшний день нашими учеными подго-
товлен серьезный теоретический и практический 
фундамент. Разрабатываются методологические и 
теоретические основы тестологии, исследуется ее 
место в системе педагогической науки, создается 
типология тестовых заданий, анализируется зару-
бежный опыт тестирования, учитываются особен-
ности психологического тестирования. Сюда же 
примыкают работы по применению математиче-
ских моделей IRT для конструирования тестов 
B. C. Аванесова [4], Г. С. Ковалевой, Е. Ю. Карда-
новой [5], Ю. М. Неймана [6], В. А. Хлебникова [6], 
М. Б. Челышковой [7] и других. Необходимой со-
ставляющей фундамента массового тестирования 
являются исследования по компьютеризации про-
цессов 
контроля 
и 
обучения, 
проведенные 
А. О. Сергеевым, А. Н. Тихоновым, А. О. Татуром, 
А. Г. Шмелевым и др. Важны концептуальные и 
методологические проблемы оценки качества обу-
чения, исследуемые в контексте мониторинга 
управления качеством образования в трудах 
Н. Н. Булынского, Г. С. Ковалевой, Э. Л. Красновского, 
А. А. Макарова, 
Н. А. Селезневой, 
А. И. Субетто, 
Н. Ф. Ефремовой, М. Б. Челышковой и других.

---

1264 
100 лет БАШКИРСКОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ УНИВЕРСИТЕТУ 
В Башкирском государственном университете 
к настоящему времени формируется научная шко-
ла, занимающаяся вопросами педагогических изме-
рений, включающими в себя вопросы контроля 
качества обучения (Е. Г. Екомасов, Я. Т. Султанаев, 
М. Х. Харрасов [8, 9]); разработки, создания и на-
учного обоснования контрольных и аттестацион-
ных измерительных материалов (Е. Г. Екомасов,
С. Е. Родионова, С. В. Савкина, Ш. И. Цыганов [10]); 
компьютеризации процессов массового тестирова-
ния (Е. Г. Екомасов, А. Д. Максутов, Е. М. Тара-
сенко [11]); разработки математических методов 
педагогических измерений (С. В. Савкина, Ш. И. Цы-
ганов [12–15]). В университете создан отдел кон-
троля качества обучения, одной из методических 
основ деятельности которого является использова-
ние процедур анализа массовых тестирований, про-
водимых на базе Центра Интернет БашГУ. Для это-
го в университете сформирована компьютерная 
общеуниверситетская система проверки и база дан-
ных оценки знаний на каждого студента. Данная 
система разработана на основе системы дистанци-
онного образования xDLS и предоставляет все ос-
новные способы организации дистанционного обу-
чения в сети Интернет, а именно: обеспечение дос-
тупа к учебным материалам посредством сети Ин-
тернет; проведение тестирования, накопление в 
базе данных системы учебных информационных 
ресурсов (учебников, курсов, тестов и т.д.) в фор-
мате IMS, их импорт и экспорт; информирование 
пользователей о ходе и результатах учебного про-
цесса, организация дистанционного обучения, со-
гласно учебным планам, создание структуры вир-
туального учебного заведения (подразделения, от-
делы, сотрудники). Обеспечивается единая регист-
рация пользователей в системе: зарегистрирован-
ный в одной из подсистем пользователь получает 
доступ к информационным ресурсам системы в 
соответствии со своим учебным планом. С помо-
щью этой системы с 2005 г. проводятся массовые 
проверки остаточных знаний студентов БашГУ.
К настоящему времени охват превысил 400% от 
общего числа студентов (это означает, что каждый 
студент был протестирован не менее 4 раз).
В университете налажены научные контакты с 
ведущими российскими центрами, занимающимися 
педагогическими измерениями – Федеральным ин-
ститутом педагогических измерений, НИИ монито-
ринга качества образования и Новгородским госу-
дарственным университетом.
Переходя к рассмотрению моделей Раша, 
сформулируем математическую задачу. Пусть име-
ется N испытуемых, которые работают над тестом, 
содержащим m заданий. В зависимости от оценива-
ния задания делятся на дихотомические (0 – 1 балл, 
соответствующие неверному и верному выполне-
ниям задания соответственно) и политомические
(с промежуточными категориями выполнения зада-
ния). За выполнение политомического задания ис-
пытуемый может получить от 0 до нескольких бал-
лов, что позволяет рассматривать их как многоша-
говые: за выполнение каждого шага испытуемый 
получает 1 балл, а общий балл за такое задание ра-
вен сумме правильно выполненных шагов. 
Рассмотрим сначала дихотомический случай. 
Рассмотрим i-ого испытуемого, уровень подготов-
ленности которого характеризуется неким латент-
ным параметром θ