* Цыганов Шамиль Ирекович – к ф. м н., доцент, заместитель декана по научной работе математического факультета

i
β
θ
β
θ
.
= 
0
1
ij
p
e
g
h
jh
i
⋅
∑
=
−
β
θ
(2) 
Вероятность 
0
ij
p
найдем из условия 
1
0
=
∑
=
j
m
l
ijl
p
. 
Положив для удобства 
1
0
=
−
j
i
e
β
θ
, получим 
=
⋅
∑
∑
=
−
=
0
0
1
ij
m
l
p
e
j
l
h
jh
i
β
θ
=
∑
⋅
∑
=
−
=
j
l
h
jh
i
m
l
ij
e
p
0
0
1
β
θ
1, откуда
∑
=
−
−
∑
∑
=
=
=
j
l
h
jh
i
g
h
jh
i
m
l
ijg
e
e
p
0
1
1
β
θ
β
θ
. 
(3) 
Формула (3) определяет политомическую мо-
дель Раша. Построим на рис. 3 типичные графики 
функций p = p
j0
, p = p
j1
, p = p
j2
для двухшагового
j-ого задания с m
j
= 2: 

---

1266 
100 лет БАШКИРСКОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ УНИВЕРСИТЕТУ 
Рис. 3. Графики вероятностей в двухбалльном задании. 
На рис. 3 изображены уровни трудности вы-
полнения первого и второго шагов j-го задания. 
Заметим, что в общем случае первый шаг выполне-
ния задания может оказаться легче второго шага, 
т.е. β
j1
 > β
j2
. 
Перейдем к вопросам оценивания параметров 
в моделях Раша. Будем требовать, чтобы получае-
мые оценки были асимптотически несмещенными, 
асимптотически эффективными и состоятельными 
(подробнее об этом в [13]). Всем этим требованиям 
удовлетворяют оценки, получаемые методом мак-
симального правдоподобия. Для простоты рассмот-
рим этот метод для дихотомической модели Раша.
Вероятность того, что в результате выполне-
ния j-го задания i-ый испытуемый получит a
ij
= 1 
баллов, равна p
ij
. Событие a
ij
= 0 произойдет с ве-
роятностью q
ij
= 1 – p
ij
. Запишем вероятности воз-
можных значений случайной величины a
ij
в виде 
функции 
ij
ij
a
ij
a
ij
q
p
−
⋅
1
. Если задания независимы, 
то вероятность того, что профиль результатов i-ого 
испытуемого 
имеет 
вид 
a
i1
…a
im
, 
равна 
(
)
∏
=
−
⋅
=
m
j
a
ij
a
ij
j
i
ij
i
ij
ij
q
p
a
L
1
1
,
,
β
θ
. Функция, стоящая
в правой части данного неравенства, называется 
функцией правдоподобия профиля ответов i-го ис-
пытуемого. Значение 
i
θ
)
, при котором функция 
правдоподобия достигает максимума, принимают в 
качестве объективной оценки 
i
θ
и называют оцен-
кой наибольшего правдоподобия.
Так как функции L
i
и ln L
i
достигают макси-
мума при одном и том же значении 
i
θ
)
, то рассмот-
рим логарифмическую функцию правдоподобия 
∑
=
−
+
=
m
j
ij
ij
ij
ij
i
q
a
p
a
L
1
)
ln
)
1
(
ln
(
ln
. Необходимым 
условием существования экстремума является ра-
венство 
0
ln
=
∂
∂
i
i
L
θ
. 
Так 
как 
=
∂
∂
i
ij
p
θ
ln
ij
ij
q
p
e
e
j
i
j
i
=
−
=
+
−
−
−
1
1
1
β
θ
β
θ
,
ij
i
ij
p
e
e
q
j
i
j
i
−
=
+
−
=
∂
∂
−
−
β
θ
β
θ
θ
1
ln
,
то
( )
(
)
=
−
−
=
∂
∂
∑
=
m
j
ij
ij
ij
ij
i
i
p
a
q
a
L
1
1
ln
θ
(
)
(
)
∑
=
=
−
+
m
j
ij
ij
ij
ij
p
p
q
a
1
(
)
∑
=
=
−
m
j
ij
ij
p
a
1
0
1
=
−
∑
=
m
j
ij
i
p
b
,
(4) 
где
∑
=
=
m
j
ij
i
a
b
1
называется первичным баллом i-ого
испытуемого и равен числу верно решенных им 
заданий теста. 
Аналогичная функция
(
)
∏
=
−
⋅
=
N
i
a
ij
a
ij
j
i
ij
i
ij
ij
q
p
a
L
1
1
,
,
β
θ
составляется для вычисления оценки наибольшего 
правдоподобия уровня трудности j-ого задания. 
Для ее нахождения приходится решать уравнение 
0
1
=
−
∑
=
N
i
ij
j
p
с
,
(5) 
где
∑
=
=
N
i
ij
j
a
c
1
называется первичным баллом j-ого
задания и равен числу испытуемых, которые верно 
его решили. 
Система m + N уравнений (4)–(5) с m + N не-
известными β
1
,..., β
m
, θ
1
,..., θ
N
имеет единственное 
решение [5, 7]. Ее приближенное решение можно 
найти обычными итерационными методами. В по-
литомическом случае данная система практически 
не изменится и после некоторых преобразований, 
упрощающих ее, будет иметь вид: 








=
=
=
−
=
=
=
=
⋅
−
∑ ∑
∑
∑ ∑
=
=
=
=
=
M
i
j
m
g
k
ijk
i
jg
m
j
j
i
m
j
m
k
ijk
i
m
g
m
j
где
p
n
С
m
M
i
i
b
где
p
k
b
j
j
0
1
1
1
.
,...,
1
;
,...,
1
,
0
,
,...,
0
,
,
0
(6) 
Кроме того, M =
∑
=
m
j
j
m
1
– максимально возможный
первичный балл за весь тест, n
i
– число испытуе-
мых, первичный балл которых равен i, и, наконец, 
C
ig
– количество испытуемых, набравших за j-ое 
задание не менее g баллов. 
Система (6) содержит 2М + 1 уравнений и 
столько же неизвестных, имеет единственное ре-
шение. Ее можно приближенно решить, например, 
методом касательных. Соответствующие итерации 
имеют вид [3]: 

---

ISSN 1998-4812
Вестник Башкирского университета. 2009. Т. 14. №3 
1267 
(
)
( )
( )
( )
( )
,
1
1
2
1
2
1
1
1
∑ ∑
∑
∑ ∑
=
=
=
= =
+




















⋅
−
⋅
⋅
−
+
=
m
j
m
k
m
k
ijk
v
ijk
m
j
m
k
ijk
i
i
i
j
j
j
p
k
p
k
p
k
b
ν
ν
ν
ν
θ
θ
(7) 
(
)
( )
( )
( )
( )
,
0
2
0
1
∑
∑
∑
∑ ∑
=
=
=
=
=
+




















−
⋅
+
−
+
=
M
i
m
g
k
m
g
k
ijk
ijk
i
M
i
m
g
k
ijk
i
jg
jg
jg
j
j
j
p
p
n
p
n
C
µ
µ
µ
µ
µ
β
β
&
(8) 
где p
ijk
находятся по формулам (3). Начальные при-
ближения выбираются из условий 
( )
i
M
i
i
−
=
ln
0
θ
, 
( )
jg
jg
jg
c
c
1
0
ln
−
=
β
, где C
ig
– количество испытуемых, 
набравших за j-ое задание ровно g баллов.
После каждой итерации центрируем оценки 
(
)
1
+
µ
β
jg
, т.е. вычисляем 
(
)
(
)
(
)
1
1
1
+
+
+
−
=
µ
µ
µ
β
β
β
jg
jg
&
, 
где среднее значение
(
)
(
)
∑ ∑
= =
+
+
=
m
j
m
k
jk
j
M
1
1
1
1
1
µ
µ
β
β
. 
Итерационный процесс ведется следующим 
образом: сначала делается 10 итераций по ν, затем 
10 итераций по µ, далее – 10 итераций по ν и так 
далее. Итерационный процесс будет завершен при 
выполнении условия
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
ε
β
β
θ
θ
µ
µ
ν
ν
<










−
+
−
∑
∑ ∑
=
= =
+
+
2
1
0
1
1
2
1
2
1
M
i
m
j
m
k
jk
jk
i
i
j
&
&
.
Точность получаемых при этом оценок харак-
теризуется средними квадратичными ошибками: 
( )
2
/
1
1
1
2
1
2
−
=
=
=






























⋅
−
⋅
=
∑ ∑
∑
m
j
m
k
m
k
ijk
ijk
i
e
j
j
p
k
p
k
S
θ
)
,
(9) 
( )
2
/
1
0
2
−
=
=
=






























−
=
∑
∑
∑
M
i
m
g
k
m
g
k
ijk
ijk
i
jg
e
j
j
p
p
n
S
β
)
(10) 
Заметим, что ошибки измерений как трудно-
сти заданий, так и уровней подготовленности ис-
пытуемых возрастают к концам распределений и 
минимальны в центрах распределений. Кроме того, 
заметим, что точность оценивания трудности зада-
ний более высока, чем точность оценивания мер 
подготовленности испытуемых. Это объясняется 
тем, что точность результатов зависит от объемов 
выборок, а число испытуемых традиционно на не-
сколько порядков выше числа заданий в тесте. 
Модели Раша относятся к параметрическим 
методам педагогических измерений, поскольку по-
зволяют оценить два параметра – уровень подго-
товленности испытуемых и уровень трудности за-
даний. Рассмотрим другие тестологические харак-
теристики тестовых заданий и тестов. В современ-
ной научной литературе важнейшими тестологиче-
скими характеристиками называют сложность, на-
дежность и валидность [2–7]. Однако, с точки зре-
ния автора, возможна модернизация этой достаточ-
но условной классификации тестовых характери-
стик [13]. Предлагается разбить их на две группы. 
К первой группе отнесем параметры эффективно-
сти теста и его заданий. Сюда отнесем сложность 
теста, вариацию тестовых баллов, дифференци-
рующую способность отдельных тестовых заданий, 
а также различные характеристики (например, ин-
формационные функции), возникающие в совре-
менных математических теориях педагогических 
измерений. Ко второй группе отнесем валидность, 
надежность и вычлененную из нее структуриро-
ванность. Заметим, что сегодня общепринято гово-
рить не о надежности и валидности тестов, а о на-
дежности и валидности тестовых результатов.
Определение меры структурированности знаний 
испытуемых включается в число методов определения 
надежности тестовых результатов. Однако, по нашему 
мнению, этот важный тестологический параметр и 
идеологически, и технологически отличается от других 
параметров надежности, поэтому может быть выделен в 
отдельную группу. Рассмотрим его подробнее. 
Простейшим из коэффициентов, определяю-
щих меру структурированности знаний испытуе-
мых, можно назвать коэффициент надежности 
Гуттмана. Рассмотрим тест с заданиями, оценивае-
мыми в дихотомической шкале. Будем считать, что 
задания в тесте расположены по возрастанию уров-
ня их трудности. Назовем идеальными все профили 
результатов испытуемых вида 10...0, 110...0, ..., 
1…10, т.е. профили, в которых единицы предшест-
вуют нулям. Легко понять почему они так называ-
ются: испытуемый правильно выполняет более лег-
кие задания, но не справляется с более трудными.
Будем говорить, что число 0 или число 1 образует 
беспорядок в профиле испытуемого, если оно стоит не 
на своем месте относительно его идеального профиля. 
Например, профиль испытуемого А вида 111011010 
имеет два беспорядка, образованных заданиями №4 и 8, 
т.к. испытуемый А набрал 6 первичных баллов и его 
идеальный профиль имеет вид 111111000. 
Коэффициентом надежности Гуттмана назы-
вается величина, равная 
Nm
f
r
N
i
i
G
∑
=
−
=
1
1
, где N – 

---

1268 
100 лет БАШКИРСКОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ УНИВЕРСИТЕТУ 
количество испытуемых, m – количество заданий в 
тесте, f
i
– количество беспорядков i-го испытуемо-
го, т.е. в числителе дроби стоит общее число бес-
порядков в матрице. В знаменателе дроби записы-
вается общее число заданий, которые пришлось 
решать испытуемым. В качестве нижней границы 
допустимой надежности тестового измерения по 
Гуттману берется 0.8.
Введем альтернативный коэффициент струк-
турированности [15]. То, что задания в тесте распо-
ложены по возрастанию уровня их трудности, оз-
начает β
1
≤ β
2
≤ ... ≤ β
m
. Нули и единицы, образую-
щие беспорядки, разобьем попарно. Самому левому 
в последовательности нулю, образующему беспо-
рядок и не имеющему пару, поставим в соответст-
вие самую левую в последовательности не имею-
щую пару и образующую беспорядок единицу. Ве-
сом пары беспорядков 0-1 для заданий с номерами 
j
1
и j
2
назовем отношение
1
1
2
2
β
β
β
β
−
−
⋅
=
m
j
j
v
. Коэффи-
циентом структурированности S
i
результатов i-го 
испытуемого называется отношение суммы весов 
всех пар беспорядков к общему числу заданий m. 
Коэффициентом структурированности тестовых 
результатов назовем величину 
N
S
S
N
i
i
∑
=
−
=
1
1
. Заме-
тим, что 
[ ]
2
;
0
∈
v
, 
[ ]
1
;
0
∈
i
S
и 
[ ]
1
;
0
∈
S
. 
Кроме того, 
коэффициент структурированности тестовых ре-
зультатов S совпадает с коэффициентом надежности 
Гуттмана в случае, если веса всех пар беспорядков всех 
испытуемых равны 2. В качестве нижней границы ко-
эффициента структурированности тестового измерения 
предлагается брать 0.9.
Основной мотив приведенных выше рассуж-
дений состоит в том, что ситуации неправильного 
решения простых заданий сильным испытуемым 
(
или правильного решения сложных заданий сла-
бым испытуемым) требуют специального изучения. 
Еще одним методом выявления таких ситуаций 
является анализ согласия экспериментальных дан-
ных с моделью профиля ответов испытуемых [5]. Для 
i-
го испытуемого в политомическом случае находим 
простую и взвешенную статистики согласия 
( )
( )
(
)
( )
(
)
∑
∑
=
=
⋅
−
−
=
m
j
m
k
ijk
ij
ij
ij
i
j
p
a
M
k
a
M
a
m
U
1
0
2
2
1
1
,
(11) 
( )
( )
(
)
( )
(
)
∑ ∑
∑
= =
=
⋅
−
−
=
m
j
m
k
ij
m
j
ij
ij
i
j
pijk
a
M
k
a
M
a
U
1
0
2
1
2
2
,
(12) 
где математическое ожидание 
( )
∑
=
=
j
m
k
ijk
ij
kp
a
M
0
. 
Обе статистки имеют математическое ожида-
ние, равное 1. Чем лучше экспериментальные дан-
ные согласуются с моделью Раша, тем ближе к 1 
значения рассмотренных характеристик. В качестве 
приемлемых рекомендуется брать значения из про-
межутка (0.8; 1.2). Статистика 
( )
1
i
U
более чувстви-
тельна к экстремально неожиданным ответам. Про-
стая и взвешенная характеристики при помощи 
преобразования 
(
)
( )
( )
3
3
1
3
U
D
U
D
U
t
+
⋅
−
=
(D(U) – 
дисперсия соответствующей статистики) приводят-
ся к стандартизированному виду. Статистики 
( )
1
i
t
и 
( )
2
i
t
подчиняются нормальному закону распреде-
ления с математическим ожиданием 0 и дисперсией 
1, 
поэтому при уровне значимости α = 0.05 в каче-
стве правого критического значения этих значений 
может быть выбрано значение 2. Если для i-го ис-
пытуемого одна из статистик не попадает в проме-
жуток (–2; 2), гипотеза о согласии профиля ответов 
с моделью измерения может быть отвергнута.
Комплексное рассмотрение рассмотренных 
параметров позволяет обнаруживать искажения 
результатов массовых тестирований, связанных с 
нарушением регламента проведения тестирования. 
Приведем анализ структурированности результатов 
теста на примере испытуемых, выполнявших один 
из вариантов контрольных измерительных вариан-
тов единого государственного экзамена 2009 г. по 
математике в Республике Башкортостан. Общее 
число испытуемых, выполнявших данный вариант 
КИМ, равно 825. В табл. 1 приведены сведения о 
количестве испытуемых, параметры структурирован-
ности результатов и статистик согласия которых не 
попали в соответствующие приемлемые интервалы. 
Таблица 1 
Количество испытуемых, результаты которых
не попадают в приемлемые интервалы 
Параметр 
G
r
S 
( )
1
i
U
( )
1
i
t
( )
2
i
U
( )
2
i
t
 
Количество
испытуемых 
200 
8 
22 
33 
0 
0 
Из табл. 1 видно, что коэффициент надежно-
сти Гуттмана следует признать достаточно грубым 
инструментом при анализе результатов испытуе-
мых. Наоборот, статистики согласия 
( )
2
i
U
и 
( )
2
i
t
нечувствительны к экстремально неожиданным 
ответам и «не видят» их.
В табл. 2 приведены сведения о тех испытуе-
мых, у которых не менее 4 параметров структури-

---

ISSN 1998-4812
Вестник Башкирского университета. 2009. Т. 14. №3 
1269 
рованности результатов и статистик согласия не 
попали в соответствующие приемлемые интервалы. 
Рассмотрим, например, профиль ответов ис-
пытуемого №513: 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 
1 1 0 0 0 0 0. Данный испытуемый не смог решить
6 из 10 простейших заданий части А, но справился 
с 8 из 12 заданий части В. Скорее всего, ученик 
получил помощь извне.
Из табл. 2 видно, что даже совокупность не-
скольких статистик не может быть абсолютно на-
дежным индикатором наличия или отсутствия ис-
кажений, и требует дополнительного анализа. Дей-
ствительно, испытуемые № 776 и 792 набрали 
столь низкие баллы, что могут быть исключены из 
анализа. В целом данная методика показала, что 
приблизительно 0.5% школьников, выполняющих 
ЕГЭ, имеют искаженные результаты, вызванные 
различными причинами.
Если в формулах (11) и (12) проводить сумми-
рование не по индексу j (заданиям теста), а по пе-
ременной i (испытуемым), то получим простую и 
взвешенную статистики согласия эксперименталь-
ных данных с моделью измерения ответов всех ис-
пытуемых на каждое отдельное задание теста.
Их можно приводить к стандартизованному виду,
и для них приемлемыми считаются те же значения, 
что и для анализа испытуемых. Например, для за-
даний варианта КИМ ЕГЭ по математике 2009 г., 
который мы рассматривали выше, единственным 
заданием с отклоненной статистикой из 26 предло-
женных является задание А7. Это несложное зада-
ние с уровнем трудности 
=
7
β
–0.96, для которого 
( ) =
1
7
U
1.27. В этом случае полезно провести иссле-
дование статистики 
)
1
(
ij
ij
ij
ij
ij
p
p
p
a
x
−
−
=
– нормирован-
ного уклонения значения a
ij
от ее математического 
ожидания M(a
ij
) = p
ij
для каждого испытуемого. 
Статистика x
ij
< –2, если вероятность правильного 
ответа больше 0.8, а испытуемый неожиданно дает 
неверный ответ, и x
ij
> 2, если вероятность пра-
вильного ответа меньше 0.2, а ответ неожиданно 
правильный. В нашем случае для 55 (6.7% от общего
числа) испытуемых x
ij
< –2, и для 148 (18% от об-
щего числа) испытуемых x
ij
>2. Таким образом, А7 
вводит в заблуждение сильных школьников, с одной 
стороны, а с другой – не вызывает проблем у слабых. 
Обратим внимание, что эта задача относится к новому 
типу заданий, которые до 2009 г. в ЕГЭ не встреча-
лись. Видимо, этим фактом объясняется ее феномен.
Выделение понятия структурированности ре-
зультатов теста позволяет конкретизировать поня-
тие надежности теста как способности давать по-
добные результаты при его применении к одинако-
вым выборкам тестируемых. Выделяется несколько 
типов надежности: реестровая надежность, опреде-
ляемая посредством повторного тестирования ис-
пытуемых с помощью одного и того же теста; на-
дежность параллельных форм, которая определяет-
ся с помощью тестирования одной и той же группы 
испытуемых параллельными тестами; надежность час-
тей теста (метод расщепления) – анализ устойчивости 
результатов отдельных блоков теста, т.е. определение 
внутренней согласованности теста. Иногда о надежно-
сти теста говорят как о частном случае устойчивости 
результатов тестирования, включая последнюю в чис-
ло параметров валидности теста [5]. 
Способность теста соответствовать постав-
ленным задачам, т.е. пригодность тестовых резуль-
татов для определенной цели, задается валидно-
стью. В отличие от надежности обоснование ва-
лидности теста представляет собой существенно 
более сложную задачу методологического характе-
ра. Валидность – это методологическая характери-
стика способности теста измерять то, для чего он 
был создан. В понятие валидности входит самая 
разнообразная информация о тесте. В настоящее 
время нет какой-либо общепринятой классифика-
ции видов валидности. Мы приведем следующие ее 
виды: 1) диагностическая; 2) содержательная;
3) соответствия результатов; 4) конструкта (латентная); 
5) критериальная (эмпирическая); 6) техническая.
Валидность критериальная делится в свою очередь на 
прогностическую, текущую и синтетическую; техниче-
ская включает в себя организационную, композицион-
ную и технологическую валидности.
Таблица 2 
Результаты испытуемых, которые не попадают в приемлемые интервалы 
Номер испытуемого 
Балл ЕГЭ 
G
r
S 
( )
1
i
U
( )
1
i
t
( )
2
i
U
( )
2
i
t
 
513 
44 
0.43 
0.81 
1.85 
11.79 
0.38 
0 
184 
60 
0.52 
0.90 
1.49 
7.44 
0.15 
0 
361 
50 
0.52 
0.87 
1.38 
5.86 
0.24 
0 
515 
44 
0.62 
0.87 
1.33 
5.16 
0.28 
0 
731 
30 
0.52 
0.90 
1.47 
7.10 
0.38 
0 
776 
21 
0.71 
0.90 
2.32 
16.86 
0.82 
0 
792 
17 
0.71 
0.94 
1.72 
10.27 
0.74 
0 

---

1270 
100 лет БАШКИРСКОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ УНИВЕРСИТЕТУ 
Критерии валидности теста основываются как 
на параметрических, так и непараметрических под-
ходах. Набор параметрических характеристик столь 
широк, что использует весь диапазон методов ма-
тематической статистики от вычисления простей-
ших коэффициентов корреляции до дисперсионно-
го анализа, статистической проверки гипотез и ме-
тодик, основанных на ТМПТ.
В качестве примера продемонстрируем про-
верку гипотезы о близости теоретической характе-
ристической кривой задания А7 КИМ ЕГЭ по ма-
тематике 2009 г. с эмпирическими данными. Нуле-
вая гипотеза 
0
Н  в данном случае будет иметь вид: 
модель Раша адекватно моделирует вероятность 
правильного ответа испытуемых из генеральной 
совокупности на данное задание.
Для проверки гипотезы применим критерий 
хи-квадрат Пирсона. Пусть n
i
–число испытуемых, 
набравших i первичных баллов, тогда n
0
+ ... + n
36 
= 825. 
Пусть 
7
i
n
– число испытуемых, набравших i пер-
вичных баллов и правильно выполнивших задание А7
. 
Тогда 
(
)
∑
−
⋅
=
i
теор
i
эмп
i
i
набл
p
p
c
2
7
7
2
χ
, где
i
i
эмп
i
n
n
p
7
7
=
, 
теор
i
p
7
находится из (1), весовой множитель
теор
i
i
i
p
n
с
7
=
. 
Окончательно,
(
)
∑
⋅
⋅
−
=
i
теор
i
i
теор
i
i
i
набл
p
n
p
n
n
7
2
7
7
2
χ
. 
Выберем уровень значимости 
=
α
0.01 и най-
дем, что 
=
2
крит
χ
50.89 и 
=
2
набл
χ
57.08. Так как 
2
набл
χ
>
2
крит
χ
, то заключаем, что нулевая гипотеза 
отвергается. 
В последние годы появились работы, в кото-
рых методы ТМПТ применяются к обработке ре-
зультатов психологических тестов [5]. 
ЛИТЕРАТУРА 
1.
Rasch G. Probabilistic Models for Some Intelligence and At-
tainment Tests. Copenhagen, Denmark: Danish Instittute for 
Educational Research, 1960. 126 p. 
2.
Wright B., Stone M. Best test design. Chicago: Mesa Press, 
1979. 220 p. 
3.
Linden W., Hambleton R. Handbook of Modern Item Re-
sponse Theory. NY: Springer-Verlag, 1997. 510 p. 
4.
Аванесов В. С. // Педагогические измерения. 2005. №4.
С. 91–116. 
5.
Карданова Е. Ю. Моделирование и параметризация тестов: 
основы теории и приложения. М.: Федеральный центр тес-
тирования, 2008. 303 с. 
6.
Нейман Ю. М., Хлебников В. А. Введение в теорию моде-
лирования параметризации педагогических тестов. М.: 
Прометей, 2000. 168 с. 
7.
Челышкова М. Б. Теория и практика конструирования 
педагогических тестов. М.: Логос, 2002. 432 с. 
8.
Харрасов Е. Г., Султанаев Я. Т., Морозкин Н. Д., Екомасов Е. Г., 
Цыганов Ш. И. // Тез. докл. Шестая научно-методическая 
конференция «Инновационные методы и средства оценки 
качества образования». 24–25 апреля 2008. Москва: АСТ-
центр, 2008. С. 56–58. 
9.
Харрасов М. Х., Султанаев Я. Т., Екомасов Е. Г., Цыганов Ш. И. // 
Вестник Башкирского университета. 2004. №4. С. 3–8. 
10.
Харрасов М. Х., Султанаев Я. Т., Екомасов Е. Г., Цыганов Ш. И. 
Особенности методики подготовки к ЕГЭ по физике и ма-
тематике. Уфа: РИО БашГУ, 2004. 76 с. 
11.
Султанаев Я. Т., Екомасов Е. Г., Максутов А. Д., Цыганов Ш. И., 
Тарасенко Е. М. // Всероссийская конференция по пробле-
мам общественных и педагогических наук. УТИС. 1 де-
кабря 2007. Уфа: РИО УТИС, 2007. С. 81–83.
12.
Цыганов Ш. И. Тестовые технологии в непрерывных обра-
зовательных средах. Уфа: РИО БашГУ, 2006. 92 с. 
13.
Цыганов Ш. И. Математические теории педагогических 
измерений. Уфа: Эдвис, 2007. 92 с. 
14.
Цыганов Ш. И. Математическая обработка результатов 
педагогического тестирования. Уфа: РИО БашГУ, 2007. 72 с. 
15.
Цыганов Ш. И. // Тез. докл. Девятая Всероссийская науч-
но-практическая конференция «Развитие тестовых техно-
логий в России». 27–28 ноября 2007. Москва: Федераль-
ный центр тестирования, 2007. С. 147–148. 
Поступила в редакцию 15.09.2009 г.