U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

 
 
 

---

 
5 
 
I  BOB.  STOXASTIKA ELEMENTLARINING MATEMATIKA 
TA’LIMIDA SHAKLLANISH BOSQICHLARI 
 
Ushbu  bobda  stoxastika  elementlarining  paydo  bo‘lishi  haqidagi 
ayrim  tarixiy  ma’lumotlar,  stoxastika  tushunchasining  ma’nosi  va 
stoxastik  metodlarning  ahamiyati,  bu  sohani  shakllanishida  salmoqli 
hissa qo‘shgan yetuk olimlar haqida ma’lumotlar bayon etilgan.  
    
1-§.  Stoxastikaning  rivojlanish tarixi 
 
1.1.  Kombinatorika.  Ma‟lumki,  har  qanday  jamiyatning  rivojla-
nish darajasi undagi fan va texnikaning taraqqiyoti bilan belgilanadi. O„z 
navbatida fan va texnikaning taraqqiy etishida matematika va matematik 
metodlar  asosiy  rol  o„ynaydi.  Matematik  metodlar  sistemasida  esa, 
stoxastik  metodlar  (stoxastika)  o„zining  o„rni  va  vazifasi,  ishonchliligi 
va samaraliligi bilan ajralib turadi. 
Stoxastika-stoxastik  metodlar  deganda,  umuman,  “Ehtimollar 
nazariyasi  va  matematik  statistika”  fani  asosida  yuzaga  kelgan 
matematik  metodlar  majmuasi  tushuniladi.  Stoxastika  elementlarining 
kombinatorik  tahlil,  birlashmalar  nazariyasi,  qisqacha  kombinatorika 
deb ataluvchi bo„limida chekli yoki muayyan ma‟noda cheklilik shartini 
qanoatlantiruvchi  to„plamni  (bu  to„plamning  elementlari  qanday  bo„li-
shining  ahamiyati  yo„q)  qismlarga  ajratish,  ularni  o„rinlash  va  o„zaro 
joylash,  ya‟ni  kombinatorik  tuzilmalar  bilan  bog„liq  masalalar 
o„rganiladi.  Sodda  qilib  aytganda,  ma‟lum  obyektlarni  maxsus 
qoidalarga  bo„ysungan  holda  joylanishlarni  va  bu  joylanishlar  sonini 
hisoblash  metodlarini  o„rganadigan  matematikaning  bo„limi  kombina-
torika  deb  ataladi.  To„plamlar  nazariyasi  iboralari  bilan  aytganda  esa, 
kombinatorikada  kombinatsiyalar  va  to„plamlar,  ularning  birlashmalari 
va  kesishmalari  hamda  kombinatsiyalar  va  qism  to„plamlarni  turli 
usullar bilan tartiblash masalalari qaraladi.  
Kombinatorikaga  oid  ma‟lumotlar  inson  faoliyatining  turli  soha-
larida  qo„llanilmoqda.  Jumladan,  kimyo,  fizika,  biologiya,  lingvistika, 
axborot  texnologiyalari  va  boshqa  sohalar  bilan  faoliyat  olib  boruvchi 
mutaxassislar  kombinatorikaning  turli  masalalariga  duch  keladilar. 
Chunki  bizning  kundalik  hayotimizda  ba‟zi  amaliy  masalalarni 

---

 
6 
yechishda  kombinatorikadan  foydalanishga  to„g„ri  keladi.  To„plamlar 
nazariyasida  bo„lgani  kabi,  kombinatorik  metodlar  ehtimollar  nazari-
yasiga  oid  masalalarni  yechishda  muhim  ahamiyat  kasb  etadi.  Bu  holat 
matematikani  o„qitish  metodikasida  matematikaning  boshqa  tarmoqlari 
bilan uzviylik tamoyillari o„rinli ekanligiga ishora qiladi. Kombinatorika 
elementlari  ehtimollar  nazariyasi  va  matematik  statistika  faniga  kirish 
deb  ham  qaraladi.  Ehtimollar  nazariyasi  va  matematik  statistika  fani 
tabiiy fanlarda, ijtimoiy-iqtisodiy fanlarda hamda xalq xo„jaligining turli 
sohalarida tatbiqlanishi ma‟lum. 
Kombinatorikaning  ba‟zi  elementlari  eramizdan  oldingi  II  asrda 
hindistonliklarga ma‟lum edi. Eramizning XII asrida Bxaskara Acharya
1
 
o„zining  ilmiy  tadqiqotlarida  guruhlash  va  o„rin  almashtirishlarni 
qo„llagan.  Tarixiy  ma‟lumotlarga  ko„ra,  hindistonlik  olimlar  kombina-
torika  elementlaridan  foydalanib  she‟riy  asarlar  tarkibiy  tuzilishining 
mukammalligini  tahlil  qilishga  urinishgan.  Taniqli  matematiklar: 
B.Paskal
2
,  Yakob  Bernulli
3
,  L.  Eyler
4
,  R.L.Chebishev
5
  turli  o„yinlarda 
(tanga  tashlash  va  shu  kabilar)  ilmiy  jihatdan  asoslangan  qaror  qabul 
qilishda kombinatorikani qo„llashgan.  
XVII  asrda  kombinatorika  matematikaning  alohida  bir  ilmiy  yo„-
nalishi  sifatida  shakllana  boshladi.  B.  Paskal  o„zining  “Arifmetik  uch-
burchak  haqidagi  traktat”  va  “Sonli  tartiblar  haqida  traktat”  (1665-y.) 
nomli asarlarida binomial  koeffitsiyentlar deb  ataluvchi sonlar haqidagi 
ma‟lumotlarni keltirgan. P.Ferma
6
 esa figurali sonlar bilan birlashmalar 
nazariyasi orasidagi bog„lanishni aniqlagan.  
”Kombinatorika”  iborasi  G.Leybnits
7
ning  “Kombinatorik  san‟at 
haqidagi mulohazalar” nomli asarida birinchi bor 1665-yilda keltirilgan.  
Bu  asarda    birlashmalar  nazariyasi  ilmiy  jihatdan  ilk  bor  asoslangan. 
O„rinlashtirishlarni  o„rganish  bilan  esa  birinchi  bo„lib  Yakob  Bernulli 
shug„ullangan  va  bu  haqdagi  ma‟lumotlarni  1713-yilda  bosilib  chiqqan 
“Ars  conjectandi”  (“Bashorat  qilish san‟ati”)  nomli  kitobining  ikkinchi 
qismida  bayon  qilgan.  Kombinatorikaning  ayrim  tushunchalarini  kelib 
chiqishi va rivojlanishi haqida ba‟zi ma‟lumotlarni keltirib o„tamiz: 
                                                 
1
 Bxaskara Acharya (1114-1178 yilda keyin) –hindistonlik matematik va astronom. 
2
 Blez Paskal  (1623-1662) –fransuz faylasufi, ixtirochisi, matematigi va fizigi.  
3
 Yakob Bernulli (1654-1705) –Shvytsariya matematigi. 
4
 Leonard Eyler (1707-1783) –mashhur ingliz matematigi, mexanik va fizik. 
5
 Chebo„shev Pafnutiy Lvovich (1821-1894) rus matematigi va mexanigi. 
6
 Ferma P‟er (1601-1665) fransuz matematigi va huquqshunosi. 
7
  Gotfrit  Leybnits  (1646-1716)  –nemis  faylasufi,  matematigi,  fizigi,  ixtirochisi,  tarixchi  va 
tilchisi. 

---

 
7 
O„rta  maktab  matematika  kursidan  ma‟lum  bo„lgan  quyidagi    qisqa 
ko„paytirish formulasini eslaylik: 
       
 
   
 
         
 
            
 
   
 
    
 
       
 
   
 
  
Ixtiyoriy 
   va    haqiqiy sonlar hamda    natural soni uchun        
 
 
ifodaning ko„phad shaklidagi yoyilmasi Nyuton
8
 binomi formulasi deyi-
ladi. “Nyuton binomi” iborasiga tanqidiy nuqtayi nazardan yondashilsa, 
undagi  har  ikki  so„zga  nisbatan  ham  shubha  tug„iladi:  birinchidan, 
       
 
  ifoda  birdan  katta  natural 
   sonlar  uchun  binom  (ya‟ni 
ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi 
Nyutongacha ma‟lum edi. Greklar 
       
 
 ifodaning qator yoyilmasini 
   ning  faqat         bo„lgan  holida  (ya‟ni  yig„indi  kvadratining 
formulasini)  bilar  edilar.  Umar  Xayyom
9
  va  Ali  Qushchi
10
 
       
 
 
ifodani 
      bo„lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar. 
Nyuton  esa  1767-yilda  yoyilma  formulasini  isbotsiz  manfiy  va  kasr 
  
sonlar  uchun  ham  qo„llagan.  L.Eyler  1774-yilda  Nyuton  binomi 
formulasini  kasr 
   sonlar  uchun  isbotladi.  K.Makloren
11
  esa  bu 
formulani darajaning ratsional ko„rsatkichlari uchun qo„llagan. Nihoyat, 
N.Abel
12
  daraja  ko„rsatkichining  istalgan  kompleks  qiymatlari  uchun 
binom  haqidagi  teoremani  isbotladi.  Kombinatorikada  ma‟lum  bo„lgan  
Paskal  uchburchagi  nomini  olgan  arifmetik  uchburchak  Paskal  nomi 
bilan  atalsa-da,  bunday  sonlar  jadvali  juda  qadimdan  dunyoning  turli 
mantaqalarida,  jumladan,  Sharq  mamlakatlarida  ma‟lum  bo„lgan. 
Masalan,  Eronda  yashab  ijod  etgan  Nosir  at-Tusiy
13
  XIII  asrda  bu 
jadvaldan foydalanib, berilgan ikki son yig„indisining natural darajasini 
hisoblash  usulini  o„zining  ilmiy  ishlarida  keltirgan.  G„arbda  Al-Koshiy 
nomi  bilan  mashhur  Samarqandlik  olim  Ali  Qushchi  butun  sonning 
istalgan  natural  ko„rsatkichli  arifmetik  ildizi  qiymatini  taqribiy  hisob-
lashda  bu  jadvaldan  foydalangan.  Keyinchalik  Yevropada  bu  sonlar 
uchburchagi  haqida  M.Shtifel
14
  arifmetika  bo„yicha  qo„llanmalarida 
bayon  qilgan  va  butun  sondan  istalgan  natural  ko„rsatkichli  arifmetik 
ildizning taqribiy qiymatini hisoblashda bu uchburchakdan foydalangan. 
                                                 
8
 Isaak Nyuton (1643-1727) –ingliz fizigi, mexanigi va matematigi. 
9
 Umar Xayyom (G„iyosiddin Abulfaz Umar Ibn Ibrohim Xayyom Nishopuriy,  
(1048-1131)  ‒ fors shoiri, matematigi va faylasufi. 
10
 Ali Qushchi (Jamshid Ibn Ma‟sud, 1436-1437) ‒ o„zbek matematigi va astronomi. 
11
 Kolin Makloren (1698-1746) –Shotlandiya matematigi. 
12
 Abel Nils Xenrik (1802-1829) ‒ Norvegiya matematigi. 
13
 Nosir at-Tusiy (Nosir Ad-Din-Muxammad Ibn Muxammad Ibn-Al-Xasan, 1201-1274) – Eron 
astronomi va matematigi.  
14
 Mixel Shtifel (1487-1567) ‒ nemis matematigi. 

---

 
8 
1556-yilda  bu  sonlar  jadvali  bilan  N.Tartaliya
15
,  keyinroq  logarifmik 
lineyka  ijodkori  U.Otred
16
  (1631-y.)  ham  shug„ullangan.  1654-yilga 
kelib, B.Paskal o„zining “Arifmetik uchburchak haqidagi traktat” nomli 
asarida bu sonlar jadvali haqidagi ma‟lumotlarni batafsil e‟lon qildi.  
Yana  ajoyib  xususiyatga  ega  bo„lgan  “Fibonachchi
17
  sonlari”  deb 
ataluvchi kombinatorik tushuncha haqida ma‟lumotlar keltiramiz.  
Elementlari  haqiqiy  sonlardan  iborat  bo„lgan  ketma-ketlikning 
uchinchi  hadidan  boshlab,  har  biri  o„zidan  oldingi  ikkita  elementning 
yig„indisiga teng ketma-ketlik ‒ Fibonachchi qatori, uning hadlari esa ‒ 
Fibonachchi sonlari deb ataladi.  “Fibonachchi sonlari” iborasi birinchi 
bo„lib, XIX asrda Eduard Lyuka
18
 tomonidan qiziqarli matematikaga oid 
asarlarida  keltirilgan.  Fibonachchi  italyancha  “filius  Bonacci” 
so„zlaridan  qisqartirib  olingan  bo„lib,  Bonachchining  o„g„li  ma‟nosini 
anglatadi.  Bu  Italiyaning  Piza  shahrida  XII-XIII  asrlarda  yashagan 
Leonardo  Pizanskiyning  tahallusidir  (laqabi).    Bonachchi  Italiya  va 
Jazoirda  savdo  ishlari  bilan  shug„ullangan.  U  boshlang„ich  ma‟lumotni 
Jazoirda  olgan  bo„lib,  o„zining  arab  o„qituvchilaridan  bir  qancha 
bilimlar qatorida hind pozitsion o„nlik sanoq tizimi va nolni  o„rgangan.  
Fibonachchi “Liber abasi” nomli kitobida arifmetika va algebra bo„yicha 
ko„p  ma‟lumotlarni  bayon  qilgan.  Bu  kitob  “Abak  haqidagi  kitob”  deb 
nomlanib,  1202-yilda  yozilgan  va  hozirda  1228-yildagi  qo„lyozma 
nusxasi  saqlanadi.  U  kitobda  hozirda  amaldagi  “arab”  raqamlari  bayon 
qilingan.  Bizgacha  yetib  kelgan  ma‟lumotlarga  ko„ra,  Fibonachchining 
o„zi  Fibonachchi  qatorining  xossalarini  o„rganmagan.  Lekin  u 
Fibonachchi  sonlariga  tegishli  xususiyatga  ega  bo„lgan  bir  qancha 
masalalarni   yechgan, keltirgan va amalda qo„llagan. Eduard Lyuka esa 
ixtiyoriy 
 
 
 
va 
 
 
 
sonlardan 
boshlanuvchi 
hamda 
 
 
   
   
   
   
          
rekurrent  tenglik  bilan  aniqlanuvchi  sonlar  qatorini  umumlashgan 
Fibonachchi  qatori  va  unda  qatnashgan  hadlarni  Fibonachchi  sonlari  
deb nomlagan. Fibonachchi sonlari tabiatning turli narsa va hodisalarida 
kutilmaganda  namoyon  bo„lishi  mumkin.  Masalan,  kungaboqarning 
urug„lari joylashgan savatida osonlik bilan sanab aniqlash mumkin bo„l-
gan  spirallar  sonlari  sifatida  ko„rinadi.  Kungaboqarning  urug„lari  joy-
lashgan  savatida  logarifmik  spirallarning  ikki  oilasini  kuzatish  mumkin 
                                                 
15
 Nikkolo Tartaliya (1499-1557) –italyan matematigi va mexanigi.  
16
 Uilyam Otred (1574-1660) – ingliz matematigi.  
17
 Finobachchi Pizanskiy (1180-1240) – italyan matematigi. 
18
 Eduard Lyuka (1842-1891) ‒ fransuz matematigi. 

---

 
9 
(logarifmik  spiral,  bu  qutb  koordinatalar  tizimidagi  tenglamasi 
   
  
  
    bo„lgan  egri  chiziqlar,  bunda 
                     Bu  egri 
chiziq  koordinatalar  boshidan  chiquvchi  barcha  nurlarni  o„zgarmas 
  
burchak ostida kesib o„tadi va 
         bo„ladi).  Bu oilalardan birining 
spirallari  aylanishi  soat  mili  yo„nalishida,  ikkinchisiniki  esa  teskari 
yo„nalishda bo„ladi. Botanikada spirallar oilasining bunday joylashishini  
“fillotaksis”  (yunon  tilida  bu  so„z  bargning  tuzilishi  ma‟nosini  beradi) 
deb  atashadi.  Oilalardagi  spirallar  soni  Fibonachchi  qatorida  ketma-ket 
joylashgan  ikkita  Fibonachchi  sonlaridan  iborat  bo„ladi.  Ular 
kungaboqar savatining kattaligiga qarab, 34 va 55 yoki 55 va 89, yoki 89 
va  144    bo„lgan    Fibonachchi  sonlari  juftliklarini  tashkil  etadi. 
Kungaboqarlar  filotaksisi  va  Fibonachchi  sonlari  orasidagi  bu 
bog„lanishni birinchi bo„lib E.Lyuka e‟lon qilgan.  
Hozirgi  vaqtda  kombinatorikada  qo„llanilayotgan  belgilashlarning 
ayrimlari  XIX  asrga  kelib  shakllandi.  Masalan:  Dastlabki 
   ta  natural 
sonlar  ko„paytmasini 
    (en  factorial–deb  o„qiladi,  faktorial  so„zi 
lotincha  “factor”  so„zidan  olingan  bo„lib,  ko„paytuvchi  ma‟nosini 
anglatadi)  ko„rinishida  belgilash  qabul  qilingan  bo„lib,
                    
belgisidan  birinchi  bo„lib    nemis  matematigi  K.Kramp
19
  1808-yilda 
nashr etilgan algebra bo„yicha qo„llanmada foydalangan. 
XX  asrga  kelib  kombinatorika,  matematika  va  uning  tatbiqlarini 
rivojlanishiga hech qanday aloqador emas va u o„z yakunini topgan fan 
deb  hisoblaydigan  fikrlar  ham  paydo  bo„ldi.  Lekin  XX  asr  boshidan 
boshlab,  kombinatorika  chekli  to„plamlarni  o„rganishda  asosiy  metod 
hisoblanib,  u  to„plamlar  nazariyasining  maxsus  bo„limiga  aylandi. 
Hozirgi  paytda  ehtimollar  nazariyasi  va  matematik  statistika,  ma‟lu-
motlar  nazariyasi,  hisoblash  texnikasini  mukammallashtirish  muammo-
larini  hal  qilishdagi  juda  muhim  tatbiqlari  natijasida,  kombinatorika 
matematikaning intensiv rivojlanib borayotgan sohasiga aylandi. 
        1.2.  Ehtimollar  nazariyasi  va  matematik  statistika.  XX  asr 
matematikasining yirik namoyandalaridan biri, amerikalik olim V.Feller 
(1906-1970)  quyidagi  fikrlarni  keltirgan:  “Ehtimollar  nazariyasi  ‒
geometriya  va  nazariy  mexanika  kabi  matematik  fandir.  Har  qanday 
matematik fanda uning bir-biridan farqli uchta qirralariga e‟tibor berish 
kerak: 
a) uning formal (aksiomatik) moslik asoslariga; 
b) undagi induktiv tasavvurlarga; 
                                                 
19
 Kristian Kramp (1760-1826) – nemis matematigi. Asosiy ishlari kombinatorika, geometriya va 
algebraga bag„ishlangan. 

---

 
10 
c) tatbiqiy masalalarga aloqadorligiga. 
Bu  uchta  qirra,  o„zaro  bog„liqlik  asosida  qaralganda,  matematik 
fanlarning  bir-biridan  farqli  tarmoqlarini  topishga,    u  yoki  bu  fanning 
qanchalik foydali ekanligini baholashga imkon beradi. 
 
Ma‟lumki,  fan  aniq  bir  qonuniyatlarga  bo„ysunadigan  voqea  va 
jarayonlarni  kashf  etadi.  Ehtimollar  nazariyasi  va  matematik  statistika 
hozirgi  zamon  matematikasida  yirik  intensiv  ravishda  rivojlanib 
borayotgan sohani tashkil qiladi va u aniq voqea va jarayonlar orasidagi 
“tasodifiylik” qonuniyatlarini o„rganadi. Alohida qayd qilib o„tish joizki, 
matematik  ma‟nodagi  “tasodifiylik”  falsafa  uchun  muhim  bo„lgan 
“tasodifiylik va zaruriyat” kategoriyalari bilan hamohangdir. 
 
Umuman,  matematika  boshqa  fanlar  qatorida  ma‟lum  qonuniyat-
larga  bo„ysunadigan  jarayonlarni  o„rganadi.  Matematika  va  uning 
obyekti,  predmeti  orasidagi  munosabat  quyidagicha  ifoda  etilishi 
mumkin.   
 
 
 
 
 
                                                
    
 
 
 
 
 
 
 
Keltirilgan  jadvaldagi  ma‟lumot  uchun  Nyuton  yaratgan  klassik 
mexanika oddiy misol bo„ladi. Nyuton mexanikaning asosiy qonunlarini 
sodda  (tushunarli)  sxemalar  ko„rinishida  qabul  qilib,  ularga  moddiy 
jismlarning  o„zaro  tortishish  qonunini  qo„shib,  bu  aksiomalar  va 
deduktiv fikrlash yordamida oldin ro„y bergan yoki ro„y berishi mumkin 
bo„lgan  mexanik  jarayonlar  tafsilotini  tushuntirib  berish  mumkin 
ekanligini  isbotladi.  Ma‟lumki,  hodisa  ehtimolligini  topish  matematik 
formulalar  bilan  ifodalanadi.  Bu  esa  biror  o„rganilayotgan  jarayonning 
(hodisaning)  matematik  modelidir.  Haqiqatdan  ham,  matematika  o„rga-
nilayotgan  jarayonni  bevosita  o„rganmasdan,  faqat  uning  matematik 
modelini o„rganadi, xolos. Bu borada mashhur amerikalik olim Kay Lay 
 
obyekt 

---

 
11 
Chjunga  tegishli  quyidagi  o„xshatishni  keltiramiz:  agar  matematik 
oldida  uy  yonayotgan  bo„lsa,  u  yong„inni  bevosita  o„chirishdan  ko„ra, 
ko„proq yong„inni o„chirish metodlari (usullari) haqida fikr yuritadi”.  
 
«Ehtimollar nazariyasi» degan iborani ilk bor uchratgan kishida bu 
fanga nisbatan «shubhali fikrlar» yuzaga kelishi tabiiy holga o„xshaydi, 
chunki «nazariya» so„zi bu iboraning biror fanga aloqadorligini bildiradi 
va  o„z  navbatida  har  qanday  fan  aniq  jarayonlarni  o„rganadi, 
«ehtimollik» so„zi esa  oddiy  ma‟noda qandaydir noaniqlik, tasodifiylik 
mavjudligini  ko„rsatadi.  Haqiqatdan  ham,  «ehtimollar  nazariyasi» 
tasodifiy xarakterga ega bo„lgan (oldindan ro„y berishi yoki bermasligini 
bashorat  qilish  mumkin  bo„lmagan)  jarayonlar,  voqealarni  o„rganadi. 
Keltirilgan  fikrda  yuzaga  kelishi  mumkin  bo„lgan  «qarama-qarshilik» 
oson  tushuntirilishi  mumkin.  Aslida,  «ehtimollar  nazariyasi»  tasodifiy 
jarayonlar  bo„ysunadigan  qonuniyatlarni  o„rganadi  (bu  qonuniyatlar 
fanda  stoxastik  qonuniyatlar  nomi  bilan  e‟tirof  etilgan).  Tasodifiy 
bo„lmagan  jarayonlar  –  deterministik    hodisalar  deb  ataladi  va  ular 
ma‟lum  shartlar  kompleksi  bajarilganda,  albatta  ro„y  beradi.  Masalan, 
suvning  temperaturasini  oshira  boshlasak,  u  qaynay  boshlaydi.  Lekin 
deterministik  xarakterga ega bo„lgan hodisalar bilan bir vaqtda tasodifiy 
hodisalar  (jarayonlar)  ham  ko„p  uchraydi.  Masalan,  epidemiya  davrida 
gripp  bilan  og„rigan  kishilar  sog„ayib  ketishi,  og„ir  asoratga  uchrashi 
yoki vafot etishi mumkin. Bu jarayon (gripp bilan kasallanish) natijasida 
nima  bilan  tugallanishini  oldindan  aytib  berib  bo„lmaydi,  lekin  bu 
natijalar har xil «ehtimollik» darajalariga ega bo„lishi mumkin. Aytilgan 
fikrlardan  kelib  chiqadiki,  ehtimollar  nazariyasining  obyekti  tasodifiy 
hodisalardan iborat bo„lib, ular uchun  yuqoridagi jadvaldagi matematik 
modellar «ehtimollar» orqali bog„liqligi bilan ajralib turadi.  
 
Ehtimollar  nazariyasi  fan  sifatida  shakllanishini  XVII  asrdan 
boshlangan  deb  hisoblanadi.  Bu  nazariya  boshlang„ich  davrda  (qimor) 
o„yinlarida  uchraydigan  kombinatorika  masalalarini  yechishga  bag„ish-
langan.  Ayni  shu  masalalar  mavjud  deterministik    matematik  modellar 
doirasidan  chiqib,  yangi  tushunchalar  kiritish  va  yangi  g„oyalarga 
asoslangan  yechish  usullarni  talab  qiladigan  murakkab  muammolarni 
o„rganishga  olib  kelgan.  Shu  kabi  yangi  g„oyalar  o„sha  davr  olimlari 
Ferma,  Paskal,  Gyugens,  keyinroq  esa  mashhur  matematiklar  Yakob 
Bernulli, Laplas, Gauss nomlari bilan bog„liq. 
 
Akademik A.A.Borovkov
20
ning e‟tirof etishicha, ehtimollar nazari-
yasiga  oid  birinchi  traktat  «Qimor  o„yinlaridagi  hisoblar  haqida» 
                                                 
20
 A.A.Borovkov ‒ Rossiya fanlar akademiyasining akademigi   

---

 
12 
mashhur  fizik  Gyugens  tomonidan  yozilgan  (1657-y.).  Gyugens  bu 
traktatda o„rganilgan  masalalarning rivojini bashorat qilib  quyidagilarni 
yozadi:  «Men  ishonamanki,  o„rganilgan  masalalar  faqat  qimor 
o„yinlariga  tegishli  bo„lmasdan,  ular  chuqur  g„oyalarga  boy  qiziqarli 
fanga asos bo„lishini his qilaman».  
Yuqorida  nomlari  keltirilgan,  ehtimollar  nazariyasini  yuzaga 
kelishida  muhim  rol  o„ynagan  olimlar  ro„yxatidan  ko„rinadiki,  ular, 
asosan,  fizikada  katta  ixtirolar  kashf  qilgan  shaxslar  bo„lgan.  Mashhur 
klassik  matematik  olimlar  D.Gilbert,  A.Puankare  ham  ehtimollar 
nazariyasini fizikadagi mustaqil yo„nalish deb hisoblaganlar. Bu fikr XX 
asrning  30-yillarigacha,  to  akademik  A.N.Kolmogorov  ehtimollar 
nazariyasini  aniq  aksiomalar  sistemasi  asosida  qurish  mumkinligini 
isbotlaganiga qadar davom etgan. Ehtimollar nazariyasining fan sifatida 
asrlar  davomida  shakllanib  borishini  quyidagicha  izohlash  mumkin: 
XVII  asrda  ehtimollar  nazariyasining      boshlang„ich  davri  bo„lib,  u 
qiziqarli,  lekin  amaliy  ahamiyatga  ega  bo„lmagan,  ko„ngilochar  qimor 
o„yinlariga  tegishli  bo„lgan  masalalar  majmuasidan  iborat  bo„lgan. 
XVIII  asrda  ehtimollar  nazariyasini  amaliyotda  qo„llash  mumkinligini 
asoslab  beradigan  «katta  sonlar  qonuni»  kashf  etilgan.  Bu  qonun 
(teorema)  shveytsariyalik  olim  Yakob  Bernulli  tomonidan  (vafotidan 
so„ng 1713 yilda) chop etilgan. Akademik A.A.Borovkovning  fikricha,  
Bernullining  «katta  sonlar  qonuni»  birinchi  «klassik  teorema» 
hisoblanib,  u  hozirgi  zamon  matematika  va  mexanikaning  asosiy 
yo„nalishlaridan biri «dinamik sistemalar» nazariyasini yuzaga kelishida 
ham  asosiy  rol  o„ynagan.  Bu  qonunning  fizik  ma‟nosi  quyidagi 
xulosadan  iborat:  o„rganilayotgan  sistemaning  vaqt  bo„yicha  o„rtacha 
holati  (bu  tasodifiy  holat),  uning  fazoviy  o„rtacha  holatiga  (tasodifiy 
bo„lmagan  deterministik    holatga)  yaqinlashadi.  Demak,  «katta  sonlar 
qonuni»  o„rinli  bo„lsa,  vaqt  o„tgan  sari  tasodifiylik  yo„qolib  boradi  va 
fizik  sistemaning  limitdagi  holati  deterministik    xarakterda    bo„ladi. 
Aytilganlardan ko„rinadiki, agar «katta sonlar qonuni» o„rinli bo„lmasa, 
vaqt  o„tgani  bilan  tasodifiylik  yo„qolmaydi  va  o„rganilayotgan  fizik 
sistema uchun turg„unlik (aniqlik, deterministik ) sifat yuzaga kelmaydi.  
Umuman 
aytganda, 
ehtimollar 
nazariyasining 
amaliyotda 
o„rganilayotgan sistema uchun qo„llanishi, «katta sonlar qonuni» orqali 
amalga  oshiriladi.  Aytib  o„tilganlardan  tashqari,  bu  asrlarda  ehtimollar 
nazariyasining  demografiya  (aholishunoslik)  faniga  tegishli  bo„lgan 
amaliy  masalalarini  yechishga  tatbiq  etila  boshlashi,  ayniqsa,  tasodifiy 
voqealarga  bog„liq  tasodifiy  –  sug„urta  sistemasining  yuzaga  kelishi 

---

 
13 
munosabati  bilan  (birinchi  marta  Angliyada  dengiz    transport 
sistemasida) bu nazariyaning ahamiyati osha boshladi.  
 
XIX  asrda  ehtimollar  nazariyasi  fan  sifatida  e‟tirof  etildi.  Bu 
jarayonda  mashhur  matematik  olimlardan  Laplas  va  Puassonning  roli 
juda  salmoqli  hisoblanadi.  Masalan,  ko„p  yillar  davomida  ehtimollar 
nazariyasi  bo„yicha  yagona  darslik  hisoblangan  «Analitik  ehtimollar 
nazariyasi»  kitobi  Laplas  tomonidan  1826-yilda  chop  etilgan.  XIX 
asrning  ikkinchi  yarmida  ehtimollar  nizariyasining  rivojlanishiga 
mashhur  rus  matematiklaridan  P.L.  Chebishev,  A.B.  Bunyakovskiy, 
A.A.  Markovlar  katta  hissa  qo„shganlar.  XX  asrga  kelib  ehtimollar 
nazariyasi mustaqil matematik fan sifatida shakllandi. Ayniqsa, bu fanni 
ma‟lum  aksiomalar  sistemasi  (Kolmogorov  tomonidan  taklif  qilingan) 
asosida qurish mumkinligi, aytish mumkinki, u inqilobiy xarakterga ega 
bo„ldi.  Bu  jarayonda  mashhur  matematiklar  E.  Borel  (Fransiya),  Fon 
Mizes  (Germaniya),  S.N.Bernshteyn  (Rossiya)  kabi  olimlarning  ijodi 
ham katta rol o„ynadi. Ehtimollar nazariyasi aksiomatik fan sifatida tan 
olingandan so„ng, uning ravnaqi uchun keng istiqbollar ochildi. Birinchi 
navbatda  uning  to„plamlar  nazariyasi  bilan  aloqadorligi,  XIX  asr 
davomida  ehtimollar  nazariyasini  hozirgi  zamon  matematikasining  eng 
ilg„or  yo„nalishlaridan  biriga  aylantirdi.  XX  asrning  birinchi  yarmida 
ehtimollar  nazariyasi  bilan  bir  qatorda  matematik  statistika  fani  ham 
ro„yobga  keldi.  Bunda  K.Pirson  (Angliya),  J.Neyman  (AQSH), 
N.V.Smirnov  (Rossiya),  A.N.Kolmogorov  (Rossiya)  V.I.Romanovskiy 
(O„zbekiston)  singari  fan  arboblarining  hissasi  juda  ham  buyukdir. 
O„zbekistonda  vatandoshlarimiz  akademik  olimlar  V.I.  Romanovskiy 
(1879-1954),  T.A.  Sarimsoqov  (1915-1995),  S.X.  Sirojiddinov  (1920-
1988)    asos  solgan  «ehtimollar  nazariyasi  va  matematik  statistika» 
maktabi  tashkil  topdi  va  bu  maktabda  bajarilgan  ilmiy  tadqiqotlar  keng 
jahon  matematiklari  jamoatchiligi  tomonidan  e‟tirof  etilgan.  Hozirgi 
paytda  ham  O„zbekistonda  «Ehtimollar  nazariyasi  va  matematik 
statistika» maktabi doirasida quyidagi: 
a) Tasodifiy miqdorlarni qo„shish nazariyasi va uning tatbiqlari; 
b)  Tasodifiy  jarayonlar  nazariyasi  (Markov  zanjirlari,  tarmoqla-
nuvchi  tasodifiy  jarayonlar,  ommaviy  xizmat  ko„rsatish  nazariyasi  va 
boshqalar); 
d)  Taqsimotlarning  no„malum  bo„lgan  parametrlarini  statistik 
baholash nazariyasi yo„nalishlarida ilmiy tatqiqotlar olib borilmoqda.  
Masalan,  Markov  zanjirlari  nazariyasini  rivojlantirishga  taniqli 
olimlar  V.I.Romanoskiy,    T.A.Sarimsoqov  va  S.H.Sirojiddinovlar  katta 

---

 
14 
hissa  qo„shdilar  hamda  limitik  teoremalarni  Markov  zanjirlari  sxemasi 
bo„yicha tekshirishda muhim ilmiy natijalarni qo„lga kiritdilar.  
Bu tatqiqotlar S.H.Sirojiddinov rahbarligida va bevosita ishtirokida 
taniqli  matematiklar  S.V.Nagaev,  T.A.Azlarov,    T.L.Malevich, 
Sh.Q.Farmonov,  M.O„.G„ofurov  va  boshqalar  tomonidan  bajarildi. 
Hozirda  tasodifiy  va  shoxlanuvchi  jarayonlar  nazariyasi,  ommaviy 
xizmat ko„rsatishning matematik nazariyasi, statistikaning noparametrik 
masalalari bo„yicha katta tatqiqotlar, yuqorida aytib o„tilgan yo„nalishlar 
bo„yicha  O„zbekistonda  hozirgi  zamon  ehtimollar  nazariyasi  va 
matematik  statistikaning  jahon  standartlariga  mos  keluvchi  ilmiy 
tatqiqot  ishlari  olib  borilmoqda.  O„zbekistonda  matematikaning 
stoxastika  yo„nalishini  rivojlanishiga  katta  hissa  qo„shgan  ilmiy 
dargohlardan biri hozirgi O„zbekiston Milliy universiteti  va O„zbekiston 
Fanlar Akademiyasi hisoblanadi.  Bu yerda  o„tgan asrning yigirmanchi 
yillaridan  boshlab  respublikamizda  matematika  yo„nalishida  dunyoga 
tanilgan  olimlar  tarbiya  topdi.  Professor  V.I.Romanovskiy  rahbarligida 
bir  guruh  o„zbek  olimlari  Qori  Niyoziy,  T.Sarimsoqov,  S.Sirojiddinov 
va  boshqa  olimlar  o„zlarining  ilmiy  ishlari  bilan  tanila  boshladilar. 
Keyinchalik  N.Romanov,  L.Volkoviskiy,  M.Sultonova,  M.Sobirov, 
M.Xojimullaev,  M.Solahiddinov,  N.Satimov,  Sh.Alimov,  Sh.Ayupov, 
T.Jo„raev,  Sh.Q.Farmonov,  M.O„.G„ofurov  va  boshqalar  O„zbekiston 
matematikasini dunyoga tanitdilar.