|
Misol:
Agar
𝑉
soha
1 ≤ 𝑥 ≤ 2
,
−2 ≤ 𝑦 ≤ 3
va
0 ≤ 𝑧 ≤ 1
tekisliklar bilan
chegaralangan boʻlsa,
∭ (𝑥 + 𝑦
2
− 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑉
uch oʻlchovli integralni
hisoblang
1 ≤ 𝑥 ≤ 2 − 2 ≤ 𝑦 ≤ 3 0 ≤ 𝑧 ≤ 1
∭(𝑥
2
+𝑦
2
− 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝑌
− ∫( ∫(∫(𝑥 + 𝑦
2
− 2𝑧
1
0
3
−2
2
1
)𝑑𝑧)𝑑𝑦)𝑑𝑧 =
1) ∫(𝑥 + 𝑦
2
− 2𝑧)𝑑𝑧
1
0
= (𝑥𝑧 + 𝑦
2
𝑧 − 𝑧
2
) |
1
0
= 𝑥 + 𝑦
2
− 1
2) ∫(𝑥 + 𝑦
2
− 1)𝑑𝑦 =
3
−2
(𝑥𝑦 +
𝑦
3
3
− 𝑦) |
3
−2
=
(3𝑥 +
27
3
− 3) − (−2𝑥 −
8𝑥
3
+ 2) = 3𝑥 + 9 − 3 + 2𝑥 +
8
3
− 2 =
= 5𝑥 +
35
3
− 5 = 5𝑥 +
20
3
3) ∫ (5𝑥 +
20
3
) 𝑑𝑥
2
1
= (
5𝑥
2
2
+
20
3
𝑥) |
2
1
=
= 10 +
40
3
−
5
2
−
20
3
=
45 − 40
6
=
5
6
Mavzu: Birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblashga doir
mashqlar. Egri chiziqli integral yordamida yuzani hisoblash.
Ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblashga doir mashqlar.
Grin formulasi. Egri chiziqli integralni tadbiqiga doir mashqlar.
Ta`rif.
Agar
0
lim
bo`lib, u chekli I soniga teng bo`lsa va I ning qiymati
B
A
ning bo`linish usuliga hamda
k
k
,
nuqtalarning tanlanishiga bog`liq
bo`lmasa, u holda shu I soniga
y
x
f
,
funksiyaning
B
A
egri chiziq bo`yicha
birinshi tur egri chiziqli integrali
deb ataladi va u
B
A
ds
y
x
f
,
kabi belgilanadi.
Shunday qilib,
0
lim
,
B
A
ds
y
x
f
1
0
0
,
lim
n
k
k
k
k
S
f
(27)
ekan.
Birinchi tur egri chiziqli integrallar quyidagi xossalarga ega.
1)
B
A
A
B
ds
y
x
f
ds
y
x
f
,
,
2)
B
C
C
A
B
A
B
C
B
A
C
A
ds
y
x
f
ds
y
x
f
ds
y
x
f
,
,
,
3)
const
c
ds
y
x
f
c
ds
y
x
cf
B
A
B
A
,
,
4)
B
A
B
A
B
A
ds
y
x
g
ds
y
x
f
ds
y
x
g
y
x
f
,
,
,
,
5)
Agar
__
,
AB
y
x
da
0
,
y
x
f
bo`lsa, u holda
B
A
ds
y
x
f
0
,
6)
ds
y
x
f
ds
y
x
f
B
A
B
A
,
,
7)
B
A
c
c
2
1
,
nuqta topiladiki,
S
c
c
f
ds
y
x
f
B
A
2
1
,
,
bo`ladi.
Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar va ularni hisoblash.
Tekislikda biror yopiq bo`lmagan sodda
B
A
egri chiziq berilgan bo`lib,
y
x
f
,
funksiya shu chiziqda aniqlangan bo`lsin.
B
A
egri chiziqni
n
k
A
k
,
0
nuqtalar
yordamida n ta
1
,
0
1
n
k
A
A
k
k
bo`lakka ajratamiz va
1
,
k
k
k
л
A
A
nuqtalar olib, quyidagi yig`indini tuzamiz:
Bu yerda
1
1
k
k
k
k
k
A
A
x
x
x
yoyning 0X o`qidagi proeksiyasi,
1
1
,
0
,
max
k
k
k
k
n
k
A
A
S
S
ning uzunligi, deb belgilaymiz.
Ta`rif.
Agar
I
0
lim
mavjud va chekli bo`lib, I ning qiymati
B
A
ning
bo`linish usuliga va
k
k
,
nuqtalarning tanlanishiga bog`liq bo`lmasa, u holda I
soniga
y
x
f
,
funksiyadan
B
A
egri chiziq bo`yicha olingan ikkinchi tur egri
chiziqli integral deb ataladi hamda u
B
A
dx
y
x
f
I
,
kabi belgilanadi.
Shunday qilib,
1
0
0
,
lim
,
n
k
k
k
k
B
A
x
f
dx
y
x
f
I
(32)
ekan.
k
n
k
k
k
x
f
1
0
,
Xuddi shunga o`xshash
k
k
f
,
larni
k
x
ga emas,
k
y
larga ko`paytirib,
1
0
0
*
,
lim
,
n
k
k
k
k
B
A
y
f
dy
y
x
f
I
(33)
ni hosil qilamiz.
2-tur egri chiziqli integral ta`rifidan quyidagi xossalar kelib chiqadi.
1)
B
A
A
B
dx
y
x
f
dx
y
x
f
,
,
va
B
A
A
B
dy
y
x
f
dy
y
x
f
,
,
.
2)
Agar
B
A
yoy 0X o`qiga (0Y o`qiga) perpendikular bo`lgan to`g`ri chiziq
kesmasidan iborat bo`lsa, u holda
B
A
dx
y
x
f
0
,
B
A
dy
y
x
f
0
,
bo`ladi.
Endi faraz qilaylik,
B
A
egri chiziqda 2 ta
y
x
P
,
va
y
x
Q
,
funksiyalar
berilgan bo`lib,
B
A
dx
y
x
P
,
va
B
A
dy
y
x
Q
,
2-tur egri chiziqli integrallar mavjud bo`lsin. Ushbu
B
A
dx
y
x
P
,
B
A
dy
y
x
Q
,
yig`indi 2-tur egri chiziqli integralning umumiy ko`rinishi
deb ataladi va
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
B
A
,
,
kabi yoziladi. Demak,
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
B
A
,
,
B
A
dx
y
x
P
,
B
A
dy
y
x
Q
,
(34)
Misol.
Agar
A
O
egri chiziq
0
,
0
O
va
1
,
1
A
nuqtalarni tutashtiruvchi
a) to`g`ri chiziq kesmasi.
b) ORA siniq chiziq,
0
,
1
P
nuqta;
v) OQA siniq chiziq,
1
,
0
Q
nuqta bo`lsa,
A
O
xydy
dx
y
x
I
2
2
hisoblansin.
a)
6
5
2
1
0
,
:
1
0
2
2
dx
x
x
x
I
x
x
y
A
O
b)
P
O
A
P
A
P
O
xydy
dx
y
x
xydy
dx
y
x
xydy
dx
y
x
I
2
2
2
2
2
2
1
0
1
0
.
2
3
2
0
1
0
,
1
:
0
1
0
,
0
:
ydy
xdx
dx
y
x
PA
dy
x
y
OP
v)
Q
O
A
Q
A
Q
O
xydy
dx
y
x
xydy
dx
y
x
xydy
dx
y
x
I
2
2
2
2
2
2
1
0
1
0
.
2
1
1
0
0
1
0
,
1
:
0
1
0
,
0
:
dx
x
dy
dy
x
y
QA
dx
y
x
ОQ
Misol.
Agar
chiziq koordinata boshidan o`tmaydigan va yo`nalishi musbat
bo`lgan yopiq chiziq bo`lsa,
2
2
y
x
ydx
xdy
I
integralni hisoblang.
Yechish.
chiziq bilan chegaralangan sohani
D
deb belgilaymiz.
1-hol.
D
0
bo`lsin.
2
2
2
2
,
y
x
x
Q
y
x
y
P
2
2
2
2
2
y
x
x
y
x
Q
y
P
Grin
formulasiga ko`ra
0
I
2-hol.
D
0
bo`lsin. Bu holda Grin formulasidan foydalana olmaymiz, chunki,
y
x
P
,
va
y
x
Q
,
funksiyalar
0
,
0
0
nuqtada aniqlanmagan.
6-chizma.
D
sohaning ichida yotuvchi
2
2
2
:
,
r
y
x
y
x
r
aylana olamiz. Endi G
soha sifatida
va
r
chiziqlari bilan chegaralangan sohani olamiz. G da
x
Q
y
P
va
G
0
. Unda Grin formulasiga ko`ra
G
r
r
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx
0
0
2
0
2
2
.
2
cos
,
sin
sin
,
2
0
,
cos
dt
tdt
r
dy
t
r
y
tdt
r
dx
t
t
r
x
y
x
ydx
xdy
I
r
Document Outline - Uch o’lchovli integralni hisoblash
- Xuddi shunga o`xshash larni ga emas, larga ko`paytirib,
Do'stlaringiz bilan baham: |
