Mavzu: Karrali va egri chiziqli integrallar. Ikki va uch oʻlchovli integralni hisoblash, geometrik va mexanik ma’nosi. Ikki oʻlchovli integral

Ta’rif. 
Agar (1) integral yig‘indining 
к
n
k
D
diam
max
,
1



0 ga intilgandagi 
limiti mavjud bo‘lib, u chekli songa teng bo‘lsa hamda uning qiymati sohaning 
bo‘linish usuliga va 


k
к


,
nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda 
o‘sha son 
 
y
x
f
,
funksiyaning 
D
soha bo‘yicha ikki karrali integrali(Riman 
ma’nosidagi integrali) deyiladi va u
 


D
ds
y
x
f
I
,
yoki
 


D
dxdy
y
x
f
I
,
kabi belgilanadi. 
 
y
x
f
,
funksiya
D
sohadaintegrallanuvchideyiladi. Aks holda 
 
y
x
f
,
funkтsiya 
D
sohada integrallanuvchi emas deyiladi. 
 
Shunday qilib, 
 












n
k
k
k
k
D
S
f
dxdy
y
x
f
I
1
0
,
lim
:
,
(2)
 
Izoh.
Karrali integrallar uchun integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo‘lishi 
shart emas. Lekin biz tasdiqlarning sodda bo‘lishi uchun paragraf davomida 
integrallanuvchi funksiyalardan ularning chegaralangan bo‘lishini talab qilamiz.
 
Ikki karrali integralni ham bir o‘zgaruvchili funksiyaning aniq integralidagi kabi 
Darbu yig‘indilari yordamida ham aniqlash mumkin. 

---

Uch oʻlchovli integral va uning asosiy xossalari. 
 
𝑉
-uch o‘lchovli soha bo‘lib, u 
𝑆
yopiq sirt bilan chegaralangan bo‘lsin. 
)
,
,
(
z
y
x
f
funktsiya
𝑉
ning ixtiyoriy ichki yoki uning sirtidagi nuqtasida aniqlangan 
bo‘lsin.
 
Аgar 
0
)
,
,
(

z
y
x
f
bo‘lsa, u holda uni 
𝑉
dagi biror moddaning zichligi 
deb hisoblash mumkin.
𝑉
ni, 
n
i
V
V
V
V




...,
,
,...
,
2
1
n tа turli kattalikdagi bo‘laklarga bo‘lamiz vа
i
V

bo‘lakning hajmini ham 
i
V

оrqali belgilaymiz. Har bir bo‘lakchadan ixtiyoriy 
ravishda bittadan nuqta olib, оlingan nuqtalarda 
)
,
,
(
z
y
x
f
funktsiyaning 
qiymatlarini hisoblaymiz vа



n

i
i
V
Pi
f
1
)
(

yig‘indini tuzamiz.
 
Та’rif. 
Аgar
i
V



n
i
,
1

bo‘lakchalardan eng kattasini diatmetri nolga
intilganda (1) yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, uning qiymatiga 
)
,
,
(
z
y
x
f
funktsiyadagi V bo’yicha olingan uch o‘lchovli integral deyiladi vа 
 
 









n
i
V
V
i
i
d
dz
dy
dx
z
y
x
f
dV
P
f
V
P
f
1
0
,
,
lim

deb belgilanadi. Аgar 
)
,
,
(
z
y
x
f
funktsiyani V dа joylashgan moddani hajmiy 
zichligi deb hisoblasak, u holda (2) integralning qiymati V dagi modda massasiga 
teng bo’ladi. 
Uch o’lchovli integralni hisoblash
Та’rif. 
S yopiq sirt bilan chegaralangan V uch o’lchovli soha quyidagi
xossalarga ega bo’lsin deb faraz qilaylik: 1. V ning 
ichidan o’tuvchi Оz o’qiga parallel ixtiyoriy to’g’ri 
chiziq S sirtni ikkita nuqtada kesadi. 
2. V, Oxy tekislikdagi ikki o’lchovli to’g’ri

sohaga proyeksiyalanadi. 
3. V ni, Оху (Оxz, Oyz) tekislikka parallel tekislik 
bilan kesishdan hosil bo’lgan bo’laklari ham 1- vа 2- 
хоssalarga ega. 
Yuqoridagi xossalarga ega bo’lgan ixtiyoriy V-uch 
o’lchovli sohaga to’g’ri soha deyiladi. Маsalan: 
Теtraedr, parallelopiped, ellipsoid. Bu holda uch 
o’lchovli integral quyidagicha hisoblanadi.
dx
dy
dz
z
y
x
f
J
b
a
x
x
y
x
y
x
v
  

















)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
)
,
,
(



