10-Ma’ruza Funksional qatorlar. Darajali qatorning yaqinlashish intervali. Darajali qatorning xossalari

5-Misol.
(
)
qatorning yaqinlashish sohasini toping.
► Yaqinlashish radiusini (8) formulaga ko’ra topamiz: 
|
|
Demak berilgan qator 
( 
)
oraliqda absolyut yaqinlashar ekan. Darajali 
qatorning oraliqning chetlarida yaqinlashishini tekshiramiz: 
bo’lsa, qator 
( 
)

---

ko’rinishni oladi. Ishoralari navbatlashuvchi bu qator Leybnis teoremasiga ko’ra 
yaqinlashadi. 
bo’lsa, qator 
(
)
ko’rinishni oladi va bu qator uzoqlashuvchi, chunki ixtiyoriy 
uchun 
va
qator uzoqlashuvchi. 
Shunday qilib, berilgan qator 
( 
)
oraliqda absolyut, 
nuqtada 
shartli yaqinlashadi va 
nuqtada uzoqlashadi.◄ 
6-Misol.
qatorning yaqinlashish sohasini toping. 
►Qatorning yaqinlashish radiusini (4) formulaga ko’ra topamiz: 
√| 
|
√ 
ya’ni berilgan qator butun 
son o’qida yaqinlashar ekan.◄ 
Darajali qatorlarning xossalari.
Bu xossalarini isbotsiz keltiramiz. 
5-Teorema.
(6) darajali qator 
yaqinlashish intervalida uning 
yig’indisi uzluksiz bo’ladi. 
6-Teorema.
Mos ravishda 
va 
yaqinlashish radiuslarga ega bo’lgan 
va 
darajali qatorlarni hadma-had qo’shish, ayirish va ko’paytirish 
mumkin. Qatorlar yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasining yaqinlashish radiusi 
va 
yaqinlashish radiuslar kichigidan kichik bo’lmaydi. 
7-Teorema.
Darajali qatorni uning yaqinlashish intervalida hadma-had 
differensiallash mumkin. Bunda 
nuqtalarda 
(10) 
qator uchun 
(11) 
tenglik o’rinli bo’ladi. 
5-Teorema.
Darajali qatorni uning yaqinlashish intervalida hadma-had 
integrallash mumkin. Bunda 
nuqtalarda (10) qator uchun 
(12) 
tenglik o’rinli bo’ladi. 

---

7-Misol.
qatorning yig’indisini toping va uning yaqinlashish sohasini 
aniqlang. 
►Dastlab (8) formulaga ko’ra qatorning yaqinlashish radiusini topamiz: 
|
|
Qatorni 
ko’rinishda yozib olamiz. O’ng tomondagi yig’indi ostidagi ifodani 
integral orqali ifodalaymiz. U holda 5-Teoremani qo’llab, berilgan qator uchun 
[
]
tenglikni hosil qilamiz. Kvadrat qavsning ichidagi yig’indi 
| |
bo’lganda cheksiz 
kamayuvchi geometrik progressiya sifatida 
ga teng. Shuning uchun 
 ifodaning darajalaridan tuzilgan darajali qatorlar. 
(13) 
ko’rinishdagi qatorga ham darajali qator deb ataymiz. Uning yaqinlashish oralig’i 
markazi 
nuqtada bo’lagan 
oraliqdan iborat bo’lib, 
yaqinlashish 
radiusi (8) va (9) formulalarga ko’ra topiladi. Bu yaqinlashish oralig’ida hadma-had 
integrallash va differensiallash haqidagi teoremalar o’rinli.