И здан и е второе, стереотипное

§ 1. П оверхности Ляпунова
П о вер хн о сть Г в пространстве 
Ет
назы вается 
ляпунов-
ской,
если она уд овлетворяет следующим двум 
условиям
Ляпунова:
1. В любой точке поверхности Г сущ ествует определен­
ная нормаль.
2
. П у ст ь х и 5 — точки поверхности Г , г = | л г — S |, 
п
и 
v — нормали к Г в точках лг и £ соответствен н о, 9 — угол 
м еж ду этими нормалями. Сущ ествую т такие положительные 
п остоян ны е 
а
и о, что
» = s £ a r “. 
(
1
)
Т е о р е м а 18.1 .1. 
Пусть
Г — 
замкнутая ляпуновская
поверхность. Существует такая постоянная d^>
0
, 
что
если произвольная точка 
принята за центр сферы
радиуса d, то прямая, параллельная нормали к поверх­
ности
Г
в точке х, может пересечь
Г
внутри сферы
только в одной точке.
Сф еру, о которой идет речь в этой теореме, будем назы­
в а т ь 
сферой Ляпунова
и обозначать через S ( jc ) .
В ы берем
d
столь малым, чтобы
ada
<
1
. 
(
2
)
Д о к аж ем , что при таком значении 
d
справедливо заключение 
теор ем ы . Допустим противное: пусть сфера радиуса 
d
с цен­
тром в некоторой точке 
х ^ Г
вы резает из поверхности Г
часть Г '(л г ) такую, что некоторы й луч я', параллельный нор­
мали 
п,
проведенной в точке лг, встречает Г в д ву х точках: 
V и £ (ри с. 28). Будем считать, что направление я есть на­
правлен и е внешней нормали. П усть прямая и' пересекает Г
так , что в точке S' эта прямая вы ходит из области , ограни­
ченной поверхн остью Г , а в точке I входит в эту область. 
П р о вед ем в точке 
I
касательную плоскость и внешнюю нор­
маль v к Г . Нормали v и 
п' — п
направлены по разные ст о ­
роны касательной плоскости ; так как v перпендикулярно к
ней, 
т о у гол & = (v, 
п)
^ . Э то 
невозможно, так 
как
— 5 i < d , и по неравенству (
2
) (v ,
п
)
1
< [ ^ .

---

М ож ет случиться, что в точке 5 луч я ' касается п овер ­
хности Г (рис. 2 9 ). Тогда (v, я ) = | , что по-прежнему про­
тиворечит неравенству (
2
).
Ниже мы будем предполагать, что радиус 
d
ляпунсшской 
сферы удовлетворяет неравенству (
2
).
На поверхности Г возьмем произвольную точку 
х
и п о ­
строим в ней местную систему координат: точку 
х
сделаем 
началом этой системы, ось 
направим по нормали 
п
к по­
верхности Г в точке х , а оси 
S4, . . . , 5m_i расположим в 
плоскости, касательной к Г в той ж е точке. Из теорем ы 18.1.1 
вытекает следую щ ее: часть поверхности Г , заключенная в 
сфере Ляпунова 
S(x),
может бы ть в местной систем е к о о р ­
динат задана явным уравнением вида
?я = / (
6
„ ^ .........
tm-i)'
/ £ С (1>- 
С3 )
При этом, очевидно,
/(О, 
0
, . . . . 0 ) = 0; Д ДО, 
0
, . . . , 0) = 0, / = 1 ,
2 , .. ., т —
1. (4 )
Ближайшая задача — оценить порядок малости функции / и 
ее первы х производны х внутри сферы 
S(x).
Ч асть п о в ер х ­
ности Г , заключенную внутри сферы 
S(x),
будем обозн ачать,
как и выш е, через Г'(лг).
П усть 
( * ) и v — нормаль к Г в точк е 5. Оценим,
прежде всего, направляющие косинусы нормали v в местной 
системе координат. Имеем
»» | 
8
*
co s (v, ; от) = cos (v, 
It)
= COS i) = 1