И здан и е второе, стереотипное

УПРАЖНЕНИЕ
Доказать, что характеристические числа оператора 
Т
располо­
жены в полуплоскости Re X ; > —
q,
где 
q
— достаточно большая 
постоянная.

---

Развиты й в предш ествую щ их гл авах вариационный метод 
решения задач Дирихле и Неймана при в с е х е го преимущ е­
ст в а х имеет и некоторые слабы е стороны . Т а к , однородную 
задач у Дирихле удастся решить лишь при услови и су щ е ст во ­
вания функции ф(л:), о которой сказано в § 5 гл. 14. Н аибо­
лее ограничительным, однако, является то о б ст о я т ел ьст во , 
что вариационный метод требует, чтобы оператор задачи был 
полож ительно определенным (или, как в предш ествую щ ей 
главе, чтобы он отличался о т положительно определен н ого 
т о л ь к о более слабым слагаемым). П о этой причине вариаци­
онный метод оказы вается недостаточно х ор ош о при способ­
ленным к случаю бесконечной области. Е сл и о т одн ого 
эллиптического уравнения перейти к эллиптическим системам 
общ его вида, то уж е задача Д ирихле для конечной области
п ер естает быть положительной и вариационный м ето д о к а зы ­
вается неприменимым.
Ц енность метода потенциалов, о к отор ом буд ет идти 
речь в настоящей главе, заклю чается в том, что он о с в о б о ж ­
дает нас от многих перечисленных зд есь трудн остей . О дн ако 
м етод потенциалов связан с громоздкими вычислениями, при­
чем применение его резко услож н яется в сл у ч ае области
с негладкой границей. Мы будем рассматривать п оэтом у т о л ь ­
к о уравнение Лапласа, которое мы впр аве счи тать о д н о р о д ­
ным (см . §
6
гл. 11). O r рассматриваемой о б л асти мы по­
требуем, чтобы ее граница обладала определенной гл а д к о ­
стью ; бол ее отчетливо это 
требование ф орм ули руется 
в 
следую щ и х параграфах. В сю ду в этой главе, к р ом е п осл ед ­
них § § 13 и 14, предполагается, что р азм ер н ость простран- 
стнп /я ^ >
2
.

---