Сборник материалов II октябрьской международной научной конференции по проблемам теоретической экономики

Игровая модель
Рассмотрим модель из класса линейно-квадратичных 
игр на графах. Интерес исследователей к изучению данного 
класса игр мотивирован линейной по ответам соседей в сети 
функцией наилучшего ответа игрока, что упрощает подход 
к анализу игровой ситуации, но в то же время реализует 
важные сетевые эффекты (экстерналии), наблюдаемые при 
взаимодействии реальных экономических агентов. Выигрыш 
игрока в данной модели включает выгоду от собственного дей-
ствия и действий соседей, а также квадратичные издержки от 
принятого решения:
 
2
1
(
)
(
2
i
i
i
ij
j
t
U a,G
a b
j
N g a )
a ,

 



 
(1)
где 
a
i
О
R 
– действия игрока 
i
, 
b
i
О
R
– предельный выи-
грыш, независящий от действий соседей (standalone marginal 
return), {
g
ij
} = 
G
– матрица связей между агентами. Параметр 
β
отражает характер зависимости от действий соседей: при 
β
> 0 действия игроков комплементарны (strategic comple-
ments), при 
β
< 0 действия соседей взаимозаменяют друг 
друга (strategic substitutes).
Данная модель довольно популярна среди зарубежных 
исследователей (
Ballester et al.,
2006; 
Galeotti et al.,
2019; 
Parise, 

---

84
Ozdaglar,
2019): показано, что при достаточно малых значе-
ниях параметра 
β
равновесные стратегии игроков пропор-
циональны центральностям Каца-Бонашича (
Galeotti et al.,
2019). А именно: равновесие Нэша в игре существует и един-
ственно, если 
βρ
(G) < 1 (где 
ρ
(·) – спектральный радиус), 
а ответы игроков в равновесии в векторном виде можно пред-
ставить как:
 
a
* = (
I
–
β
G
)
–1
b,
(2)
где 
I
– единичная матрица. 
Удобно ввести функцию общественного благосостояния 
(social welfare function) следующего вида:
(
)
(
),
i
i N
W b,G
U a*,G



(3)
где в правой части – сумма выигрышей, полученных игро-
ками в равновесии. Тогда задача управления (или задача сти-
мулирования, incentive-targeting problem) заключается в том, 
чтобы выбором допустимого управления максимизировать 
функцию общественного благосостояния по вектору 
b
:
max
b
W
(
b,G
) (4)
при условиях:
a
* = (
I
– 
β
G
)
–1
b
;
2
(
)
(
(
)
i
i
i N
ˆ
ˆ
K b,b
b
b
C ,





где бюджетное ограничение 
C
принято выбирать пропор-
ционально числу агентов 
N
. В общем виде задача не решена, 
однако найдена эффективная сетевая эвристика (network 
heuristic policy) (
Galeotti et al.,
2019):
1
:
1
nh
V
ˆb
b
C ,


(5)
где 1 – единичный вектор, 
v
1 – собственный вектор матрицы 
G
, соответствующий максимальному собственному значению.