Funksiyaning limiti. Ajoyib limitlar

---

Matematika fanidan majmua
 
Funksiyaning limiti. Aniqmasliklar turlari
194 
MA’RUZA № 4 
1
FUNKSIYANING LIMITI. AJOYIB LIMITLAR. 
 
Maqsad.
 
Funksiya limiti va uni hisoblashga ko’nikma hosil qilish
. 
Reja.
 
1. Funksiya limiti. 
2. Funksiyaning limiti haqidagi teoremalar: 
3. Ajoyib limitlar. 
4. Asosiy aniqmasliklarni yechish. 
Tayanch iboralar.
 
Limit, ajoyib limitlar, aniqmaslik. 
2
Funksiya limiti. 
Ta’rif
:
x
argument 
0
x
nuqtaga intilganda uning funksiyasi f(x) biror A 
soniga intilsa, A soni 
f(x)
y

funksiyasining 
0
x
nuqtadagi 
limiti deyiladi va u 
0
lim
(x)
A
x
x
f


ko’rinishda yoziladi. 
Agar 
f(x)
funksiya 
0
x
x

nuqtada aniqlangan bo’lsa, u 
holda 
)
(
0
x
y
ifoda funksiyaning 
0
x
nuqtadagi qiymati 
bo’ladi. Agarda funksiyaning 
0
x
nuqtadagi limiti A, shu 
0
x
nuqtadagi funksiya qiymatiga teng bo’lsa, ya’ni 
0
0
limf(x)
f(x )
x
x


bo’lsa, shu 
0
x
nuqtada funksiyani uzluksiz 
deyiladi. 
 
3
Funksiyaning limiti haqidagi teoremalar: 
1. O’zgarmas 
C
y

funksiyaning limiti shu o’zgarmasning o’ziga teng: 
C
limC
0


x
x
2. O’zgarmas ko’paytuvchini limit ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin: 
0
0
)
(
lim
)]
(
lim[
x
x
x
x
x
f
k
x
kf



3. Funksiyalar yig’indisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar limitlarining
yig’indisi (ayirmasiga) teng: 
1
Wolfgang Ertel. Advanced Mathematics for Engineers.37-42 b
. 
2
James Stewart. Calculus. Brooks/cole, Cengage learning USA,7 th edition, 2010.p.51-58 
3
James Stewart. Calculus. Brooks/cole, Cengage learning USA,7 th edition, 2010.p.62-71. 

---

Matematika fanidan majmua
 
Funksiyaning limiti. Aniqmasliklar turlari
195 
)
(
limf
(x)
limf
(x)
limf
(x)]
f
(x)
f
(x)
lim[f
n
2
1
n
2
0
0
0
0
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x












4. Funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarinng ko’paytmasiga 
teng: 
(x)
limf
(x)
limf
(x)
limf
(x)]
f
)
f(x
)
lim[f(x
n
0
0
2
0
1
2
0
1
x
x
x
x
x
x
n
x
x













Natija:
Agar 
A
(x)
limf
0
x
x


bo’lsa, u holda 
n
n
x
x
A
]
[f(x)
lim
0


bo’ladi, 
0

A
da
x
x
/n
1
n
0
A
f(x)
lim


bo’ladi. 
5. Agar bo’luvchi f
2
(x) ning limiti 0 ga teng bo’lmasa, f
1
(x) va f
2
(x)ikki funksiya 
nisbatining limiti shu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng: 
0
0
0
x
x
lim
(x)
1
(x)
1
lim
(x)
lim
(x)
2
2
x
x
x
x
f
f
f
f




 
Limitlarning yuqoridagi teoremalaridan foydalanib, ba’zi funksiyalar limitlarini 
hisoblaymiz: 
1. 
4
2
1
1
1
x
2
lim
1
x
limx
2
1
x
limx
2)
x
2
(x
1
x
lim












2.
3
π
2
/
1
6
π/
Sinx
6
π/
x
lim
x
6
π/
x
lim
Sinx
x
6
π/
x
lim






3.
100
1
100
lgx
lim
x
lim
lgx)
(x
lim
10
x
10
x
10
x
2
2









Funksiyаlarning limitlarini topishga yоrdam beradigan limitga o’tishning eng 
sodda qoidalari bilan tanishamiz.
Bunda isbot faqatgina 
а
х

hol uchun o’tkaziladi (


х
da shunga 
o’xshash isbotlanadi). Ba’zan qisqalik uchun, 
а
х

ni ham, 


х
ni ham 
yоzmaymiz.
teorema
. CHekli sondagi limitga egа funksiyаlar algebraik yig’indisining 
limiti qo’shiluvchi funksiyаlar limitlarining algebraik yig’indisiga tеng, yа’ni 
)
(
...
)
(
)
(
))
(
...
)
(
)
(
(
2
1
2
1
x
u
im
x
u
im
x
u
im
x
u
x
u
x
u
im
n
n












Isboti.
Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. 
а
x
u
im

)
(
1

, 
b
x
u
im

)
(
2

bo’lsin. U holda 
b
a
x
u
x
u
im



))
(
)
(
(
2
1

tеnglik to’g’ri 
bo’lishini ko’rsatamiz. CHeksiz kichik funksiyаlarning xossalaridagi teoremaning 

---

Matematika fanidan majmua
 
Funksiyaning limiti. Aniqmasliklar turlari
196 
birinchi qismiga asosan






b
u
a
u
2
1
,
deb yоzishimiz mumkin, bu еrdagi
α, β
- cheksiz kichik funksiyаlar.
Demak, 

 
 
 














b
a
b
a
u
u
2
1
bu tеnglikda
a+b
-
o’zgarmas son, 
α+β
-cheksiz kichik funksiyа. YАna o’sha 16.5-teoremaning 
ikkinchi qismini qo’llasak
2
1
2
1
)
(
u
im
u
im
b
a
u
u
im








ekаnligi kelib 
chiqadi. 
1-misol
. 
4
2
2
2
)
2
(
2
)
2
)(
2
(
2
4
2
2
2
2
2
2


















x
x
x
x
x
im
x
im
x
im
x
x
x
im
x
x
im





. 
2-misol
. 
1
0
1
5
1
5
1
5
5
2
2
4
2
4
4
4
2
4










 




















x
im
im
x
im
x
x
x
x
im
x
x
x
im
x
x
x
x
x





. 

teorema
. Chekli sondagi limitga egа funksiyаlar ko’paytmasining limiti shu 
funksiyаlar limitlarining ko’paytmasiga tеng, yа’ni
)
(
...
)
(
)
(
))
(
...
)
(
)
(
(
2
1
2
1
x
u
im
x
u
im
x
u
im
x
u
x
u
x
u
im
n
n











. 
Isboti
. Ko’paytmada ikkita funksiyа bo’lgan holni qaraymiz. 
b
u
im
a
u
im


2
1
,


bo’lsin. U holda yuqorida eslatilgan teoremaga binoan






b
u
im
a
u
im
2
1
,


bo’ladi, α, β-cheksiz kichik funksiyаlar. Demak, 

 

















a
b
ab
b
a
u
u
2
1
. Bu tеnglikdagi 
ab
-o’zgarmas 
son, 







a
b
- cheksiz kichik funksiyа. YАna o’sha teoremani ikkinchi qismini 
qo’llasak
2
1
2
1
u
im
u
im
ab
u
imu







ekаnligi kelib chiqadi. 

3-misol.

















]
4
[
]
3
[
)
4
(
)
3
(
)
4
)(
3
(
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
im
x
im
im
x
im
х
im
х
im
х
х
im







10
)
2
(
5
)
4
2
)(
3
2
(








. 

4-misol.
2
)
0
2
)(
0
1
(
1
2
1
1
1
2
1
1
2
2









 





 






 





 






x
im
x
im
x
x
im
x
x
x




Natija.
 
O’zgarmas
C 
ko’paytuvchini limit belgisidan chiqarish mumkin, 
yа’ni
)
(
)
(
x
u
im
C
x
u
C
im




chunki
C
imC


teorema.
Ikkita limitga egа funksiyа bo’linmasining limiti maxrajning limiti 
noldan farqli bo’lganda, shu funksiyаlar limitlarining bo’linmasiga tеng, yа’ni agar
0

v
im

bo’lsa,
v
im
u
im
v
u
im




bo’ladi. 

Isbot.
im

u
(
x
)=
a
,
im

v
(
x
)=b≠0 bo’lsin. U holda






b
v
a
u
,
bo’lishini hisobga olsak.
)
(
)
(


































b
b
a
b
b
a
b
b
a
ab
b
ab
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
v
u

---

Matematika fanidan majmua
 
Funksiyaning limiti. Aniqmasliklar turlari
197 
tеnglikka egа bo’lamiz, bunda
b
a
-o’zgarmas son,
)
(





b
b
a
b
- cheksiz kichik 
funksiyа, chunki


a
b

cheksiz kichik funksiyа va


b
b
(
)≠0. 
So’nggi tеnglikka 16.5-teoremani 2-qismini qo’llasak
v
im
u
im
b
a
v
u
im





tеnglik hosil bo’ladi. 

6-misol.
1
3
3
2
2



х
х
im
x

ni toping. 
Еchish.
0
7
1
2
3
)
1
3
(
2







х
im
x

. SHuning uchun:
1
3
3
2
2



х
х
im
x

=
1
7
7
1
2
3
3
2
2
)
1
3
(
)
3
2
(
2
2











х
im
х
im
x
x


.