Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

f
boʻlsin. 

---

315 
Teorema (teskari funksiya haqidagi).
Aytaylik, 
G

n
fazodagi ochiq 
toʻplam, 
:
n
G

f
uzluksiz 
differensiallanuvchi 
vektor-funksiya 
va 
det
( )
0,
G



f a
a
, boʻlsin. U holda 
a
nuqtani oʻz ichiga olgan shunday
U
G

ochiq toʻplam va 
( )
f a
nuqtani oʻz ichiga olgan shunday
V
ochiq toʻplamlar 
mavjudki, 
:
U
V

f
funksiya 
1
:
V
U


f
uzluksiz differensiallanuvchi teskari 
funksiyaga ega va 
V
 
y
uchun
1
1
1
(
) ( ) [
(
( ))]






f
y
f
f
y
. 
Chekli orttirmalar haqidagi quyidagi Lagranj teoremasi ham ko‘p 
qo‘llaniladi. 
Teorema
. (Lagranj formulasi). 
n
G

ochiq toʻplam va 
:
f G

differensiallanuvchi haqiqiy funksiya berilgan boʻlsin. Agar 
x
G

va 
x
h
G
 
nuqtalarni tutashtiruvchi 
{
| 0
1}
x
h



 
kesma 
G
da joylashsa, u holda shunday 
(0;1)
θ

son mavjudki, uning uchun 
(
)
( )
(
)
f x
h
f x
f x
θ h h






, ya’ni
1
1
1
1
(
,...,
)
( ,...,
)
(
)
n
n
n
n
i
i
i
f x
h
x
h
f x
x
D f x
θh h








(2) 
formula oʻrinli boʻladi. (2)
 
formula 
Lagranj formulasi 
deb ataladi.
Teorema
. (Koʻp oʻzgaruvchili funksiyaning differensiallanuvchi boʻlishi 
uchun yetarli shart). 
n
G

ochiq toʻplam, 
a
G

va 
:
f G

funksiya 
a
nuqtaning biror atrofida 
1
,...,
n
D f
D f
xususiy hosilalarga ega boʻlsin. Agar bu 
xususiy hosilalar 
a
nuqtada uzluksiz boʻlsa, 
f
funksiya shu 
a
nuqtada 
differensiallanuvchi boʻladi.
Natija
1
. Agar 
:
f G

funksiyaning 
1
,...,
n
D f
D f
xususiy hosilalari 
n
G

ochiq toʻplamda uzluksiz boʻlsa, u holda 
f
vektor– funksiya 
G
da 
differensiallanuvchidir.
Natija
2
. (Vektor– funksiyaning differensiallanuvchi boʻlishi uchun yetarli 
shart). 
n
G

ochiq toʻplam, 
a
G

va 
:
m
f G

funksiyaning koordinata 
funksiyalari nuqtaning biror atrofida 
,
1,
,
1, ,
i
j
D f
i
m
j
n


xususiy hosilalarga 
ega boʻlsin. Agar bu xususiy hosilalar 
a
nuqtada uzluksiz boʻlsa, u holda 
f
funksiya 
shu nuqtada differensiallanuvchi boʻladi.
Natija 3
. Agar 
:
m
f G

, 
1
(
, ... ,
)
m t
f
f
f

funksiya uchun barcha 
,
1,
,
1, ,
i
j
D f
i
m
j
n


xususiy hosilalar 
n
G

ochiq toʻplamda uzluksiz boʻlsa, 
u holda 
f
funksiya 
G
da differensiallanuvchidir.
Agar 
:
m
f G

funksiya uchun barcha 
,
1,
,
1, ,
i
j
D f
i
m
j
n


xususiy 
hosilalar 
n
G

ochiq toʻplamda uzluksiz boʻlsa, u holda bu funksiya 
G
da 
uzluksiz 
differensiallanuvchi
deyiladi. 
G
da uzluksiz differensiallanuvchi boʻlgan barcha 
:
m
f G

vektor-funksiyalar toʻplamini (sinfini) 
1
( ;
)
m
C G
bilan belgilaymiz. 
Qisqalik uchun 
1
1
( ; )
( )
C G
C G

deymiz.

---

316 
Matritsa va determinantlarga oid tayanch ma’lumotlar 
[ ]
ij
n m
A
a


matritsa quyidagi sonlar jadvalini anglatadi: 
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
[ ]
...
...
...
...
...
m
m
ij
n
n
nm
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
















(
n m

oʻlchamli
matritsa) 
Bu yerdagi 
ij
a
sonlar 
A
matritsaning elementlari deb ataladi. 
[ ]
ij
n m
A
a


va 
[ ]
ij
m k
B
b


matritsalar quyidagicha koʻpaytiriladi: 
1
[
]
,
m
ij
ij
iq qj
q
m×k
AB
d
d
a b




; 
ij
d
ni hosil qilish uchun 
A
matritsaning 
i
- satri 
B
matritsaning 
j
- ustuniga skalyar 
koʻpaytirilgan. 
Bir xil oʻlchamli matritsalarni qoʻshish mumkin. Bunda matritsalarning mos 
elementlari qoʻshiladi. Matritsa songa (oʻngdan yoki chapdan) koʻpaytirilganda, 
uning barcha elementlari shu songa koʻpaytiriladi. 
Matritsalarni koʻpaytirish amali quyidagi xossalarga ega: 
(
)
(
)
(
)
(
)
AB C
A BC
A B
C
AB
AC
B
C A
BA
CA







 
Bu yerda matrits
a
larning oʻlchamlari mos amallarni bajarish uchun mos keladi deb 
faraz qilinadi. 
Ushbu
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
[ ]
...
...
...
...
...
m
m
ij
n
n
nm
n m
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a

















matritsaning transpozitsiyasi deb
11
21
1
12
22
2
1
2
...
...
[
]
...
...
...
...
...
m
m
T
ji
n
n
mn
m n
a
a
а
a
a
a
A
a
a
a
a

















matritsaga aytiladi. Quyidagilar soddagina tekshiriladi:
 


 
 
,
,
,
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
A
A
A
B
A
B
A
A
AB
A B








Satrlar soni ustunlar soniga teng boʻlgan matritsa kvadrat matritsa deyiladi. 
Kvadrat matritsa uchun determinant tushunchasi aniqlangan. 
[ ]
ij
n n
A
a


kvadrat 
matritsaning determinanti det
A
bilan belgilanadi: 

---

317 
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
det
...
...
...
...
...
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
А
a
a
a

va u quyidagi xossalarga ega: 
1.
 
Agar matritsada nollardan iborat satr (ustun) mavjud boʻlsa, uning 
determinanti nolga teng. 
2.
 
Matritsaning ixtiyoriy ikki satrining (ustunining) oʻrinlari almashtirilsa, 
determinantning ishorasi almashadi.
3.
 
Matritsaning biror satriga (ustuniga) boshqa satrlarning (ustunlarning) 
chiziqli kombinatsiyasi qoʻshilsa , uning determinanti oʻzgarmaydi.
4.
 
Matritsaning biror satri (ustuni) biror songa koʻpaytirilsa, determinantning 
qiymati ham shu songa koʻpayadi.
5.
 
Agar matritsaning biror satri (ustuni) ikkita satrning yigʻindisi sifatida 
ifodalangan boʻlsa, u holda bu matritsaning determinanti oʻsha satrni qoʻshiluvchi 
satrlar bilan almashtirishdan hosil boʻlgan ikkita matritsaning determinantlari 
yigʻindisiga teng.
6. 
Transpozitsiyalashda determinantning qiymati oʻzgarmaydi: 
det
det
T
A
A

. 
7. 
det
A
=0 boʻlishi uchun 
A
matritsaning satrlari (ustunlari) chiziqli 
bogʻlangan boʻlishi yetarli va zarurdir.
8. 
[ ]
ij
A
a

matritsaning 
i
- satri va 
j
- ustunini yoʻqotishdan (chizib 
tashlashdan) hosil boʻlgan 
ij
M
matritsa
minor
deb ataladi. 
ij
a
elementning 
algebraik
toʻldiruvchisi
deb 
( 1)
det
i
j
ij
ij
A
M

 
songa aytiladi. Determinantni 
i
-satr boʻyicha yoyish:
1
det
,
1,
n
ik
ik
k
A
a A
i
n




. 
Determinantni 
j
- ustun boʻyicha yoyish: 
1
det
,
1,
n
kj
kj
k
A
a A
j
n




. 
«Begona» algebraik toʻldiruvchilarga koʻpaytirish:
1
1
0 ,
.
n
n
ik
jk
kj
ki
k
k
a A
a A
i
j







Keltirilgan formulalar Laplas formulalari deb ataladi. 
9. 
A
va 
B
n n

-kvadrat matritsalar uchun 
 
det
det
det
AB
A
B



tenglik oʻrinlidir. 
Ushbu

---

318 
1
0
0
0
0
1 0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Е

















n n

kvadrat matritsa