|
ASOSIY BELGILASHLAR RO‘YXATI
har qanday, ixtiyoriy, har bir (umumiylik kvantori).
mavjud, kamida bitta mavjud (mavjudlik kvantori).
kelib chiqadi (implikatsiya belgisi).
teng kuchli (ekvivalent).
ta’rifga ko‘ra teng.
{
x
E
|
P
(
x
)}
E
to‘plamning
P
(
x
) xossaga ega bo‘lgan barcha
x
elementlari
to‘plami.
natural sonlar to‘plami.
.
haqiqiy sonlar to‘plami.
kompleks sonlar to‘plami.
n
o‘lchamli haqiqiy Evklid fazosi.
ixtiyoriy o‘zgarmaslar (doimiylar).
const
o‘zgarmas (doimiy).
interval.
segment.
yarim segment.
yarim segment.
.
sonli oraliq (ichi bo‘sh bo‘lmagan bog‘lanishli sonli to‘plam).
D
soha, ya’ni bo‘shmas, ochiq va bog‘lanishli to‘plam.
max
E
E
sonli to‘plamning maksimumi (eng katta elementi).
min
E
E
sonli to‘plamning minimumi (eng kichik elementi).
sup
E
E
sonli to‘plamning supremumi (yuqori chegaralarning eng kichigi).
inf
E
E
sonli to‘plamning infimumi (quyi chegaralarning eng kattasi).
norma (yoki matritsa) belgisi.
E
E
to‘plamning chegarasi.
E
C
E
to‘plamning (qaralayotgan fazogacha) to‘ldiruvchisi.
B
(
a
)
radiusli
a
markazli (ochiq) shar.
B
=
B
(
o
)
def
n
n
1
2
, ,
,
c c c
( , )
|
{
} (
)
def
a b
x
a
x
b
a
b
[ , ]
|
{
} (
)
def
a b
x
a
x
b
a
b
( , ]
|
{
} (
)
def
a b
x
a
x
b
a
b
[ , )
|
{
} (
)
def
a b
x
a
x
b
a
b
[0,
)
def
I
|| ||
10
X
Y
to‘plamlarning to‘g‘ri (Dekart) ko‘paytmasi.
f
:
X
Y
X
to‘plamda aniqlangan, qiymatlari
Y
to‘plamda joylashgan
funksiya
D
(
f
)
funksiyaning aniqlanish to‘plami (sohasi).
f
|
E
f
funksiyaning
E
to‘plamga torayishi.
f
|
a
=
f
(
a
)
g
○
f
f
va
g
funksiyalar kompozitsiyasi (ketma-ket bajarilishi).
f
(
x
)=
o
(
g
(
x
)),
x
a
,
asimptotik tenglik (kichik o); u
f
(
x
)=
(
x
)
g
(
x
),
, ekanligini anglatadi.
f
(
x
)=O(
g
(
x
)),
x
a
,
(katta o); u
f
(
x
) funksiya
g
(
x
) ni
a
nuqtaning biror atrofida
chegaralangan
h
(
x
) funksiyaga ko‘paytirishdan hosil bo‘lishini (
f
(
x
)=
h
(
x
)
g
(
x
))
anglatadi.
barcha uzluksiz
f
:
X
Y
funksiyalar sinfi (to‘plami).
.
)
k
- tartibli barcha hosilalari (demak, undan past tartiblilari ham)
uzluksiz bo‘lgan
f
:
X
Y
funksiyalar sinfi.
dist(
X
,
Y
)
to‘plamlar orasidagi masofa (distance – masofa).
dim
X
X
fazoning o‘lchami (dimension – o‘lcham).
deg
P
P
ko‘phadning darajasi (degree – daraja).
haqiqiy sonlardan tuzilgan
o‘lchamli matritsalar to‘plami.
kompleks sonlardan tuzilgan
o‘lchamli matritsalar to‘plami.
(qalin harflar)
vektorlar.
MYaT
mavjudlik va yagonalik teoremasi.
MI
mustaqil ish.
ODT
oddiy differensial tenglama.
DT = ODT.
masala (misol) yechilishining boshlanish belgisi.
masala (misol) yechilishining tugallanganlik belgisi.
f
f
lim
( )
0
x
a
x
(
, )
C X Y
(
)
(
,
)
C X
C X
( , )
k
C
X Y
( )
( , )
k
k
C
X
C
X
( )
n n
M
n n
( )
n n
M
n n
, , , ,
,
, , , ,...
x y c h f m n p q
11
1. DIFFERENSIAL TENGLAMA VA UNING YECHIMI
Maqsad
– differensial tenglama va uning yechimi tushunchalarini
hamda egri chiziqlarning berilgan oilasi uchun bu oila qanoatlantiruvchi
differensial tenglamani tuzishni o‘rganish.
Yordamchi ma’lumotlar:
Ushbu
( )
( , , ,
,...,
)
0
n
F x y y y
y
yoki
2
2
, ,
,
,...,
0
n
n
dy d y
d y
F x y
dx dx
dx
(1)
ko‘rinishdagi tenglik
( )
y
y x
funksiyaga nisbatan
n-tartibli oddiy differensial
tenglama
deyiladi, bunda
1
2
( , ,
,
,...,
)
n
F x y p p
p
funksiya
1
2
, ,
,
,...,
n
x y p p
p
haqiqiy argumentlarning berilgan haqiqiy funksiyasi,
x
erkli haqiqiy
o‘zgaruvchi,
( )
y
y x
x
o‘zgaruvchining noma’lum haqiqiy funksiyasi,
( )
,
,...,
n
y y
y
uning hosilalari;
( )
n
y
haqiqatdan ham (1) tenglamada
qatnashgan deb hisoblanadi (
F
funksiyaning qolgan argumentlari bu
tenglamada ishtirok etmasligi mumkin).
Agar
( )
y
y x
funksiya
I
oraliqda aniqlangan
( )
I
D y
hamda
1
0
. ( )
( )
n
y x
С I
(
( )
y
y x
funksiyaning
n
tartibli hosilasi
I
da uzluksiz,
funksiya
I
da
n
marta uzluksiz differensiallanuvchi, ya’ni
( )
( )
( )
n
y
x
C I
),
2
0
. ixtiyoriy
x
I
uchun
( )
( , ( ),
( ),
( ),...,
( ))
0
n
F x y x y x y x
y
x
( )
(
y
y x
funksiya (1) tenglamani
I
da qanoatlantiradi (ayniyatga aylantiradi)
)
shartlar bajarilsa, u holda bu
( )
y
y x
funksiya (1) tenglamaning
I oraliqda
aniqlangan yechimi
deyiladi.
Yechim oshkormas ko‘rinishda, ya’ni
( , )
0
x y
(2)
tenglama bilan ham berilishi mumkin. Bunda (2) munosabat biror
I
oraliqda (1)
ning biror
( )
y
y x
yechimini aniqlaydi deb tushuniladi (kitob oxiridagi
ilovaga qarang).
Ushbu
1
2
, , ,
,...,
0
n
x y c c
c
(3)
tenglama bilan berilgan
n
parametrli silliq egri chiziqlar oilasini qaraylik;
bunda
1
2
,
,...,
n
c c
c
biror sohada o‘zgaruvchi parametrlar. Bu chiziqlar oilasi
qanoatlantiradigan differensial tenglamani tuzish uchun quyidagicha ish
tutamiz. Dastlab (3) munosabatdan topiluvchi
( )
y
y x
funksiyani
n
marta
uzluksiz differensiallanuvchi deb faraz qilgan holda (3) ni
n
marta
x
bo‘yicha
differensiallaymiz:
12
2
2
2
2
2
2
( )
0
2
0
............................................................
0
n
n
n
y
x
y
y
y
y
x y
y
x
y
y
y
x
(4)
Endi (3) va (4) munosabatlardan (ular
1
n
ta)
1
2
, ,...,
n
c c
c
parametrlarni
yo‘qotamiz. Natijada izlangan differensial tenglama hosil bo‘ladi.
Misol 1.
Ushbu
( ),
y
x
1
( )
,
x
x
x
funksiya
2
2
3
0
y
y
x
birinchi tartibli differensial tenglamaning
(0;
)
intervalda yechimi ekanligini
ko‘rsating.
Yechim ta’rifidagi shartlarnining bajarilishini tekshiramiz.
1
0
.
Berilgan funksiya
(0;
)
intervalda uzluksiz differensiallanuvchi,
chunki uning hosilasi shu intervalda uzluksiz:
2
1
1
( )
1
(0;
).
x
x
C
x
x
2
0
. Endi
( )
y
x
bo‘lganda berilgan tenglama
(0;
)
intervalda ayniyatga
aylanishini tekshiramiz:
2
2
2
2
2
2
2
1
1
3
( )
( ( ))
3 1
3
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
1
1
1
2
3
0.
x
x
x
x
Demak, berilgan funksiya berilgan tenglamaning
(0;
)
intervalda yechimi.
Izoh.
Berilgan funksiya berilgan tenglamaning
(
; 0)
intervalda ham
yechimi ekanligi yuqoridagilardan ravshan.
Misol 2.
Ushbu
2
2
cos
0
dy
x
y
x
x
dx
(
yoki
2
2
cos
)
dy
x
y
x
x
dx
tenglama berilgan. Ushbu
13
2
0
( )
cos
,
x
x
x
t dt
(
;
),
x
funksiyaning bu tenglama yechimi ekanligini ko‘rsating.
Yechim ta’rifiga ko‘ra quyidagilarni bajaramiz:
Do'stlaringiz bilan baham: |
