|
13. DIFFERENSIAL TENGLAMALARNING NORMAL SISTEMASI
Maqsad
– differensial tenglamalarning normal sistemasi uchun
yechimning mavjudligi va yagonaligi to‘g‘risidagi teoremani hamda bunday
sistemalarni yechish usullarini o‘rganish
Yordamchi ma’lumotlar:
Ushbu
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
( , ,
,...,
)
( , ,
,...,
)
.................................
( , ,
,...,
)
n
n
n
n
n
dx
f t x x
x
dt
dx
f t x x
x
dt
dx
f t x x
x
dt
(1)
ko‘rinishdagi differensial tenglamalar sistemasi
normal sistema
deb ataladi;
bunda
1
2
( , ,
,...,
),
1, ,
i
n
f t x x
x
i
n
berilgan funksiyalar
1
n
D
sohada
aniqlangan va uzluksiz deb hisoblanadi, ya’ni
( , ),
1, .
i
f
C D
i
n
Agar
1
1
2
2
( ),
( ),...,
( )
n
n
x
t
x
t
x
t
funksiyalar
I
oraliqda
uzluksiz differensiallanuvchi va (1) sistemani ayniyatga aylantirsa
(qanoatlantirsa), u holda bu funksiyalar (1) tenglamalar sistemasining
I
oraliqda yechimi deyiladi.
(1) sistemaning ushbu
0
0
0
1
10
2
20
0
0
10
0
,
, ... ,
(( ,
,...,
)
berilgan)
t
t
n t
n
n
x
x
x
x
x
x
t x
x
D
(2)
159
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini biror
0
,
,
I t
I
oraliqda topish Koshi
masalasi (boshlang‘ich masala) deyiladi. (2) shartlar Koshi shartlari
(boshlang‘ich shartlar) deb yuritiladi.
Differensial tenglamalar sistemasiga keltiriluvchi ba’zi amaliy
masalalarni keltiraylik.
1.
Induktivlik
L
, kondensator
C
, qarshilik
R
va elektr yurituvchi kuch
manba’si
( )
E t
dan tuzilgan yopiq elektr zanjirini qaraylik (12.1- rasm).
13.1- rasm.
, , , ( )
L C R E t
elektr zanjiri.
K
kalit qo‘shilishidan avval kondensator zaryadlanmagan, zanjirda tok
yo‘q. Zanjirdagi tok kuchini toping.
Zanjirdagi tok kuchini
( )
i
i t
,
R
qarshilikdagi,
C
kondensatordagi va
L
induktivlikdagi potensiallar ayirmasini mos ravishda
,
R
C
u
u
va
L
u
bilan
belgilaylik. Fizikadan ma’lumki,
,
,
C
R
L
du
di
u
iR i
C
u
L
dt
dt
.
To‘la zanjir uchun Om qonuniga ko‘ra
( )
L
R
C
u
u
u
E t
,
ya’ni
( )
C
di
L
Ri
u
E t
dt
.
Boshlang‘ich shartlar:
(0)
0, (0)
0
C
u
i
.
Demak, quyidagi boshlang‘ich masalaga egamiz:
1
( )
1
(0)
0,
(0)
0
C
C
C
R
E t
di
i
u
dt
L
L
L
du
i
dt
C
i
u
Bu yerdan
( )
i
i t
ni yo‘qotib, ushbu
160
2
2
1
( )
(0)
(0)
0
C
C
C
C
C
d u
du
R
E t
u
L dt
LC
LC
dt
du
u
dt
masalani hosil qilish ham mumkin.
2.
1
1
,
,
( )
R L E
E t
va
1
1
,
R L
elektr zanjirlarining induktivlik g‘altaklari
umumiy o‘zakka ega (13.2- rasm).
13.2- rasm.
G‘altaklarning o‘zaro induktivlik koeffitsienti
M
. Zanjirlardagi mos
1
1
( )
i
i t
va
2
2
( )
i
i t
toklarni toping,
1
10
(0)
i
i
va
2
20
(0)
i
i
boshlang‘ich
qiymatlar ma’lum.
Har bir zanjir uchun Om qonunini yozaylik:
1
2
1
1
1
( )
di
di
i R
L
M
E t
dt
dt
,
2
1
2
2
2
0
di
di
i R
L
M
dt
dt
.
Demak,
1
1
( )
i
i t
va
2
2
( )
i
i t
noma’lumlarni topish uchun ushbu
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
1
10
2
20
( )
(0)
,
(0)
di
di
L
M
i R
E t
dt
dt
di
di
L
M
i R
dt
dt
i
i
i
i
Koshi masalasini hosil qildik.
3.
Volterra-Lotka modeli.
Faraz qilaylik, yopiq sistemada (muhitda) o‘lja
va yirtqichlar (ikki tur individuumlari) yashasin.
1
1
( )
N
N t
va
2
2
( )
N
N t
mos
ravishda
t
paytdagi o‘lja va yirtqichlar sonini belgilasin. Agar yirtqichlar
bo‘lmasa, o‘ljalarning
1
( )
N t
o‘sish tezligi ularning soniga proporsional,
ya’ni
1
( )
aN t
ga (
0
a
) teng va eksponensial tezlik bilan o‘sadi;
2
( )
N t
sondagi
yirtqichlar bu o‘sish tezligini
2
1
( )
( )
bN t N t
ga, ya’ni uchrashishlar soniga
proporsional miqdorga
(
0)
b
kamaytiradi. Demak,
1
2
1
(
)
N
a bN N
tenglik
o‘rinli bo‘ladi. Agar o‘ljalar bo‘lmasa, yirtqichlar o‘zgarishining tezligi
2
( )
cN t
161
bo‘ladi (
0
c
, ularning soni eksponensial kamayadi);
1
( )
N t
sondagi o‘ljalarning
mavjudligi natijasida bu tezlik
1
2
( )
( )
d N t N t
ga ortadi, ya’ni
2
1
2
(
)
N
c
d N N
bo‘ladi. Shunday qilib, bizning farazlarimizda o‘lja va yirtqichlar (populyatsiyasi)
soni quyidagi differensial tenglamalar sistemasi bilan boshqariladi:
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
N
a bN N
N
c
d N N
Bu sistema Volterra-Lotka tenglamalari (o‘lja-yirtqich modeli) deb yuritiladi.
4
.
Ikki tur orasidagi raqobat modeli.
Ikki tur orasida birining
ikkinchisiga yemish bo‘lishidan farqli o‘zaro ta’sir ham bo‘lishi mumkin.
Turlar joy, oziq-ovqat yoki boshqa resurslar uchun raqobatlashishi mumkin.
Har bir tur individuumlari soni ikkinchi tur mavjud bo‘lmaganda o‘zining
logistik tenglamasi asosida o‘zgaradi. Lekin raqobat natijasida tur
individuumlari sonining o‘sish tezligi kamayadi. Turlar individuumlari sonini
1
N
va
2
N
bilan belgilab, turlar orasidagi raqobatni quyidagi tenglamalar bilan
modellashtirish mumkin:
1
1
1
01
1
12
2
2
2
2
02
2
21
1
(
)
(
)
d N
k N N
N
r N
dt
d N
k N N
N
r N
dt
Bu yerda
1
01
12
2
02
21
,
,
,
,
,
k N
r
k N
r
musbat sonlar;
12
r
parametr ikkinchi turning
birinchi turga ta’sirini,
21
r
parametr esa birinchi turning ikkinchi turga ta’sirini
xarakterlaydi. Agar
12
21
r
r
bo‘lsa, ikkinchi tur raqobatda dominantlik qiladi:
ikkinchi turning birinchi turga ta’siri birinchi turning ikkinchi turga ta’siriga
nisbatan katta.
5.
Simbiotik turlar o‘zaro ta’sirining modeli.
Ba’zan
ikki turning har
biri ikkinchisining (o‘sishini) ko‘payishini ta’minlashi mumkin. Bunday turlar
simbiotik turlar deyiladi. Masalan, yukka guli va yukka kapalagi simbiotik
turlardir: yukka gulini yukka kapalagi changlatadi, yukka kapalagi esa yukka
gulining nektarini iste’mol qilib yashaydi. Simbiotik turlarnng o‘zaro ta’sirini
quyidagi sistema bilan modellashtirish mumkin:
1
1
01
1
1
12
2
2
2
02
2
2
21
1
(
)
(
)
d N
N N
k N
r N
dt
d N
N N
k N
r N
dt
Bu yerda
01
1
12
02
2
21
, ,
,
,
,
N
k r
N
k r
musbat sonlar.
162
6.
O‘lja-yirtqich, ikki tur orasidagi raqobat va ikki simbiotik tur o‘zaro
ta’sirining modellarini
n
ta o‘zaro ta’sir etuvchi turlar uchun quyidagicha
umumlashtirish mumkin:
1
,
1,
(
)
n
j
j
j
jk
k
k
x
x a
b x
j
n
;
bu yerda
( )
j
j
x
x t
j
- tur individuumlarining soni,
0
j
a
va
0
jj
b
o‘zgarmas sonlar,
,
,
jk
b
j
k
ixtiyoriy ishorali doimiylar. Bunda, agar
0 ,
,
jk kj
b b
j
k
bo‘lsa, o‘lja-yirtqich modeli,
0 ,
0 ,
,
jk
kj
b
b
j
k
bo‘lganda
raqobat modeli,
0 ,
0 ,
,
jk
kj
b
b
j
k
bo‘lganda esa simbiotik model hosil
bo‘ladi.
Endi mavjudlik va yagonalik teoremasini keltiramiz.
Biror
1
1
2
1
2
( , ,
,..,
), ( , ,
,..,
)
,
n
n
n
f t x x
x
t x x
x
E
haqiqiy qiymatli
funksiya berilgan bo‘lsin. Agar biror
0
L
soni mavjud bo‘lib,
1
1
( , ,...,
), ( , ,..,
)
n
n
t x
x
t x
x
E
uchun
1
1
1
( , ,...,
)
( , ,...,
)
n
n
n
j
j
j
f t x
x
f t x
x
L
x
x
tengsizlik bajarilsa, u holda
1
( , ,...,
)
n
f t x
x
funksiya
E
da
1
2
( ,
,...,
)
n
x x
x
o‘zgaruvchilarga nisbatan Lipshits shartini qanoatlantiradi deyiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
