Верхорубов Вадим Сергеевич

 
 

---

37 
2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В КОМПОЗИЦИИ 
«ПОКРЫТИЕ – ОСНОВА» ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СЖАТОЙ ДУГИ 
Для подбора параметров режима обработки и прогнозирования абразивной 
износостойкости, за счет изменения структуры покрытия, построили 
математическую модель плазменного оплавления двухслойного материала, 
путем решения краевой задачи теплопроводности методом функции Грина. 
Этапы построения модели включают: аналитическое решение уравнения 
теплопроводности через функцию Грина, анализ влияния параметров режима 
плазменной обработки на геометрию зоны оплавления и оценка структурного 
состояния покрытия для определения материала обладающего большей 
стойкостью к абразивному износу. 
2.1. Разработка математической модели 
При разработке модели учитывали: 

кондуктивный перенос тепловой энергии в материалах композиции; 

теплоотдачу с поверхности покрытия; 

энтальпии плавления и парообразования материалов; 

теплофизические характеристики материалов покрытия и основы; 

подвижность теплового источника; 

зависимость коэффициента сосредоточенности от параметров 
режима обработки. 
При моделировании не учтены следующие показатели: 

зависимость напряжения на дуге от параметров режима обработки; 

зависимость теплофизических характеристик материалов от 
температуры; 

поглощение или выделение теплоты фазовых превращений; 

течение жидкости в расплавленной ванне; 

---

38 

влияние краевых эффектов. 
Для построения математической модели определяли расчетную схему 
процесса 
плазменного 
оплавления 
композиционного 
материала 
«металлизационное покрытие – основа». Для постановки задачи ввели 
прямоугольную систему координат (рисунок 2.1). 
Рисунок 2.1 – Расчетная схема 
 
Интегральное решение уравнения теплопроводности методом функции 
Грина имеет следующий вид: 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜏) =
1
𝑐𝜌
∫ ∫ ∫ ∫ 𝐺(𝑥, 𝑥ˈ, 𝑦, 𝑦ˈ, 𝑧, 𝑧ˈ, 𝜏)𝑃(𝑥ˈ, 𝑦ˈ, 𝑧ˈ, 𝜏)𝜕𝑥ˈ𝜕𝑦ˈ𝜕𝑧ˈ𝜕𝜏, (2.1)
𝑧
𝑦
𝑥
𝜏
где 
G (x,xˈ,y,yˈ,z,zˈ,τ)
– функция Грина; 
P (x, y, z)
– функция источника. 
Для получения окончательного решения исходной задачи необходимо в 
первую очередь определиться с функцией источника. Металлизационное 
покрытие обладает толщиной 1–2 мм, а в зоне контакта с основным металлом, 
имеющим высокую теплопроводность, будет происходить интенсивный 
теплоотвод от покрытия, что приведет к неравномерному распределению 
температур по толщине покрытия. Это позволяет описать плазменный нагрева 

---

39 
функцией подвижного непрерывно действующего точечного источника нагрева 
[74]: 
𝑃(𝑥
′
, 𝑦
′
, 𝑧
′
, 𝜏) =
𝑞
𝑐𝜌
𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧)𝐸(𝜏), (2.2)
где 
E(τ)
– единичная функция 
𝐸(𝜏) = {
1 при 0 ≤ 𝜏 ≤ 𝑡
0 при 𝜏 > 𝑡
, (2.3)
Таким образом 
E(τ)
– это разрывная функция, испытывающая скачок при τ 
= 0. Такая функция получается при внезапном подключении какого-либо 
постоянного воздействия, в данном случае источника тепла. 
В процессе плазменного оплавления на возможность теплоотвода в его 
нижние слои будет сильно влиять толщина изделия. Для учета этого будем 
рассматривать распространение тепла в плоском слое: 
−∞ ≤ х ≤ ∞ ; −∞ ≤ 𝑦 ≤ ∞ ; 0 ≤ z ≤ 𝐿, (2.4) 
Давление сжатой дуги и потоки плазмообразующего и защитного газов 
обуславливают 
конвективный 
теплообмен 
с 
окружающей 
средой. 
Следовательно, на поверхности покрытия (
z = 
0) зададим граничные условия III 
рода, тогда уравнение теплопроводности примет следующий вид [74]: 
с𝜌
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 𝜆 (
𝜕
2
𝑇
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝑇
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝑇
𝜕𝑧
2
) + 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) + 𝑏𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), (2.5)
где