2-маъруза. Тўпламнинг аниқ қуйи ва аниқ юқори чегараси. Режа: 1

3.
 
Ҳақиқий сонларни қўшиш, кўпайтириш, бўлиш. 

---

Ҳақиқий сонлар йиғиндисининг таърифи ва хоссалари. 
Икки 
ва 
ҳақиқий сон берилган бўлсин. Қуйидаги тенгсизликларни қаноатлантирувчи 
ва 
рационал сонларни оламиз: 
 
ва
ҳақиқий сонларнинг 
 йиғиндиси деб, бир томондан ҳамма 
 
кўринишдаги ва иккинчи томондан ҳамма 
кўринишдаги сонлар 
орасида жойлашган 
 ҳақиқий сонни айтамиз: 
 
Ҳақиқий сонлар кўпайтмасининг таърифи ва хоссалари. 
Ҳозирча мусбат 
сонлар билан чегараланиб, ҳақиқий сонларни кўпайтиришга ўтамиз. Икки 
ва 
мусбат ҳақиқий сон берилган бўлсин. Биз бу ерда яна (1) 
тенгсизликларни қаноатлантирувчи ҳамма рационал сонларни қараймиз. 
Лекин бу сонларни ҳам мусбат деб фараз этамиз. 
Икки мусбат ҳақиқий 
ва
соннинг 
 кўпайтмаси деб, бир томондан 
ҳамма 
кўринишдаги ва, иккинчи томондан, ҳамма 
кўринишдаги 
кўпайтмалар орасида ётган 
 ҳақиқий сонга айтамиз: 
 
Агар 
ва 
сонларнинг 
бўлинмасини
 
шартни қаноатлантирувчи 
деб таърифласак, у ҳолда бўлувчи 
нолдан 
фарқли бўлгандагина, бўлинманинг мавжудлигини ва бирдан-бирлигини 
аниқлаш мумкин.