2-маъруза. Тўпламнинг аниқ қуйи ва аниқ юқори чегараси. Режа: 1

---

2-маъруза. Тўпламнинг аниқ қуйи ва аниқ юқори чегараси. 
Режа: 
1.
 
Сонлар тўпламининг чегаралари.
 
2.
 
Беригард Больцано теоремаси.
 
3.
 
Ҳақиқий сонларни қўшиш, кўпайтириш, бўлиш.
 
 
1.
 
Сонлар тўпламининг чегаралари.
Ҳозирги замон анализида муҳим 
аҳамиятга эга бўлган баъзи тушунчалар ҳақиқий сонлар устида арифметик 
амаллар бажаришни кўрганимизда керак бўлади.
 
Ҳақиқий сонларнинг ихтиѐрий чексиз тўплами берилган деб фараз 
этайлик; бу тўплам турли кўринишда берилиши мумкин. Бу ҳилдаги 
тўпламлар, масаслан, натурал сонлар тўплами, ҳамма тўғри касрлар тўплами, 
0 ва 1 орасидаги ҳамма ҳақиқий сонлар тўплами, 
тенглама 
илдизларининг тўплами ва ҳ.к. бўлиши мумкин. 
Тўпламнинг ихтиѐрий сонини 
билан белгилаймиз, демак 
тўпламга 
тегишли сонларнинг намунавий белгиси бўлади; 
сонлар тўпламининг 
ўзини эса 
{ }
деб белгилаймиз. 
Агар кўрилаѐтган 
{ }
тўплам учун бирор 
сон мавжуд бўлиб, 
тўпламнинг ҳамма сонлари 
тенгсизликни қаноатлантирса, тўплам 
юқоридан (
билан) чегараланган дейилади. 
соннинг ўзи, бу ҳолда 
{ }
тўпламнинг юқори чегараси бўлади. Масалан, тўғри касрлар тўплами 
юқоридан 1 сон билан ѐки 1 дан катта исталган сон билан чегараланган; 
натурал қатор юқоридан чегараланмаган. 
Шунингдек, агар бирор 
мавжуд бўлиб, ҳамма 
учун 
бажарилса, 
{ }
тўплам (
сон билан) қуйидан чегараланган дейилади. 
соннинг ўзи 
{ }
тўпламнинг қуйи чегараси дейилади. Масалан, натурал сонлар кетма-кетлиги 
қуйидан 1 билан ѐки 1 дан кичик исталган сон билан чегараланган; мусбат 
тўғри касрлар тўплами қуйидан 0 билан ѐки 0 дан кичик исталган манфий сон 
билан чегараланган. 
Юқоридан (қуйидан) чегараланган тўплам бир вақтнинг ўзида қуйидан 
(юқоридан) чегараланган ѐки чегараланмаган ҳам бўлиши мумкин. Масалан, 
тўғри касрлар тўплами ҳам юқоридан, ҳам қуйидан чегараланган натурал 
сонлар кетма-кетлиги эса қуйидан чегараланган бўлиб, юқоридан 
чегараланмагандир. 
Агар тўплам юқоридан (қуйидан) чегараланмаган бўлса, унинг юқори 
(қуйи) чегараси деб, 
“хосмас сон”ни қабул қилинади. 
, 

---

белгилар “плюс чексиз” ва “минус чексиз” деб ўқилади. Бу “хосмас сонлар” 
учун қуйидагилар кучга эга деб ҳисоблаймиз: 
ва
бунда 
исталган ҳақиқий сон. 
Агар тўплам юқоридан чегараланган, яъни у чекли юқори 
чегарага эга 
бўлса, у ҳолда бир вақтнинг ўзида у чексиз кўп юқори чегаралар тўпламига 
эга бўлади (масалан, 
дан катта ҳар қандай сон ҳам бу тўпламнинг юқори 
чегараси бўла олади). Барча юқори чегаралардан энг кичиги аҳамиятга эга ва 
уни биз аниқ юқори чегара деймиз. Шунингдек, агар тўплам қуйидан чекли 
сон билан чегараланган бўлса, унинг қуйи чегараларининг энг каттасини 
аниқ қуйи чегара деймиз. Лекин тўғри касрлар тўплами учун 0 ва 1 мос 
равишда аниқ қуйи ва юқори чегаралар бўлади. 
Юқоридан (қуйидан) чегараланган тўплам учун ҳар вақт аниқ юқори 
(қуйи) чегара мавжудми?- деган савол туғилади. Ҳақиқатан ҳам, бу ҳолда 
юқори (қуйи) чегаралари чексиз кўп бўлганидан ва чексиз кўп сонлар 
тўпламидан ҳар вақт энг каттаси ва энг кичиги топилмагани учун тўпламнинг 
ҳамма юқори (қуйи) чегаралари орасида энг кичиги (энг каттаси) мавжуд 
бўлишини исбот этиш талаб қилинади.