2-маъруза. Тўпламнинг аниқ қуйи ва аниқ юқори чегараси. Режа: 1

2.
 
Беригард Больцано теоремаси.
Теорема (Беригард Больцано): 
Агар 
{ }
тўплам юқоридан (қуйидан) 
чегараланган бўлса, у аниқ юқори (қуйи) чегарага эга бўлади.
Исбот. Муҳокамани юқори чегарага нисбатан олиб борамиз. Икки ҳолни 
кўрайлик:

1)
Фараз қилайлик, 
тўпламнинг 
сонлари орасида энг каттаси бўлган, 
̅
сон топилсин. Бу ҳолда тўпламнинг ҳамма сонлари 
̅
тенгсизликни 
қаноатлантиради, яъни 
̅
сон 
нинг юқори чегараси бўлади ва 
тўпламга 
киради; демак, исталган 
юқори чегара учун 
̅
тенгсизлик бажарилади. 
Бундан 
̅
тўпламнинг аниқ юқори чегараси эканини кўрамиз.
 
2)
тўпламнинг 
сонлари орасида энг каттаси йўқ деб фрарз этайлик. 
Барча ҳақиқий сонлар тўпламида қуйидаги кесимни бажарамиз. Юқори 
 
синфга
 
тўпламнинг ҳамма 
юқори чегараларини, қуйи 
 
синфга эса 
қолган ҳамма ҳақиқий сонларни киритамиз. Бу бўлишда 
тўпламнинг 
ҳамма 
сонлари 
 
синфга киради, чунки қилинган фаразга кўра, улардан ҳеч 
бири энг катта эмас. Шундай қилиб, иккала 
, 
 
синф ҳам бўш эмас. Бу 
бўлиш ҳақиқатан ҳам кесимдир, чунки ҳамма ҳақиқий сонлар синфларга 
бўлинган бўлиб, 
 
синфдаги ҳар бир сон 
 
синфдаги ҳар бир сондан 

---

каттадир. Дедекинднинг асосий теоремасига асосан бу кесимни бажарувчи 
ҳақиқий сон мавжуддир. Ҳамма 
сонлар 
 
синфдалиги учун улар 
“чегаравий” 
сондан катта бўла олмайди, яъни 
сон ҳамма 
учун юқори 
чегара бўлиб хизмат қилади; демак, 
ўзи 
 
тўпламга киради ва унда энг 
кичик сон бўлади. Шундай қилиб 
ҳамма юқори чегараларнинг кичиги 
бўлиб, 
{ }
тўплам учун изланган аниқ юқори чегарани ифодалайди. 
Теореманинг (аниқ қуйи чегарага оид) иккинчи қисми ҳам худди шу сингари 
исбот қилинади.
Агар 
сон 
{ }
сонлар тўпламининг аниқ юқори чегараси бўлса, у 
ҳолда ҳамма 
учун 
бўлади.
Энди ихтиѐрий кичик 
мусбат сонни олайлик, 
ҳамма юқори 
чегарадарнинг энг кичиги бўлгани учун 
дан кичик бўлган 
сон 
тўплам учун юқори чегара бўла олмайди, яъни 
да шундай 
топиладики, 
бўлади. Бу икки тенгсизлик билан 
тўпламнинг 
аниқ юқори 
чегараси тўла характерланади. 
Шунингдек, 
тўпламнинг 
аниқ қуйи чегараси қуйидагича 
характерланади: ҳамма 
учун 
бажарилади ва 
дан катта 
ҳар 
қандай бўлганда ҳам 
тўпламдан 
тенгсизликни қаноатлантирувчи 
топилади. 
сонлар тўпламининг аниқ юқори чегараси 
ва аниқ қуйи чегараси 
ни белгилашда қуйидаги символлар ишлатилади: 
{ } { } 
(латинча: supremum- енг юқори; imfimum-энг қуйи).
Келгусида кўп учрайдиган, қуйидаги бир хулосани таъкидлаймиз: 
агар бирор тўпламнинг ҳамма 
сонлари 
тенгсизликни 
қаноатлантирса, у ҳолда 
{ }
 бўлади.
Ҳақиқатан ҳам, 
сон тўпламнинг юқори чегараларидан биридир, 
шунинг учун юқори чегараларнинг энг кичиги ундан катта бўла олмайди. 
Шунингдек, 
тенгсизликдан 
{ }
тенгсизлик ҳам келиб 
чиқади.
Агар 
{ }
тўплам юқоридан чегараланмаган бўлса, унинг аниқ юқори 
чегараси деб 
қабул қилинади: 
{ }
. Шунингдек, агар 
{ }
тўплам қуйидан чегараланмаган бўлса, унинг аниқ қуйи чегараси деб 
қабул қилинади: 
{ }
.