N djurayev, B. E. Eshmatov ehtimolliklar nazariyasi

 
§ 3. Bog’liqsiz sinovlarning takrorlanishi 
Amaliyotda, berilgan kompleks shartlarda kо‘p marta takrorlanuvchi sinovlar 
bilan bо‘g’liq masalalarga duch kelamiz. Masalan, biror hodisaning 
takrorlanuvchi
n
ta sinovda 
m
marta rо‘y berishi yoki nishonga qarata bir 
qancha о‘q uzganda kerakli sondagi о‘qning nishonga tegishi va sh.k. 
Takrorlanuvchi sinovlarning har birida 
A
hodisaning rо‘y berish ehtimolligi 
boshqa sinov natijalariga bog‘liq bо‘lmasa, bunday sinovlar 
A
hodisaga nisbatan 
bog’liqsiz
deyiladi.Agar bog’liqsiz takrorlanuvchi sinovlar yagona kompleks 
shartlarda о‘tkaziladigan bо‘lsa, u holda A hodisaning ehtimolligi har bir 
sinovda о‘zgarmas va bir xil bо‘ladi. Takrorlanuvchi bog’liqsiz sinovlar ketma-
ketligi Bernulli sxemasi ham deb yuritiladi. 
3.1 Bernulli formulasi
Faraz qilaylik, 
n
ta о‘zaro bog’liqsiz takrorlanuvchi sinovlarning har birida 
A
hodisaning rо‘y berish ehtimolligi 
p 
teng bо‘lsin. U holda, 
A
hodisaning rо‘y 
bermaslik ehtimolligi
q=
1
-p
ga teng. 
n
ta sinovda 
A
hodisaning rosa 
k
marta 
rо‘y berish ehtimolligi 
)
(
k
Р
n
ni topamiz 
)
(
n
к

. 
A
hodisa dastlabki 
n
ta sinovda 
k
marta rо‘y bersin va qolgan barcha 
sinovlarda rо‘y bermasin. Bu murakkab hodisani 







 
marta
k
n
marta
n
A
A
A
A
AA





kо‘paytma shaklida yozish mumkin, uning ehtimolligi bog‘liqsiz hodisalarni 
kо‘paytirish teoremasiga kо‘ra 
k
n
k
q
p

ga teng. 

---

18 
Bunday murakkab hodisalar umumiy soni 
n
ta elementdan 
k
tadan tuzilgan 
guruhlashlar soni 
k
n
C
ga teng. Bu murakkab hodisalar birgalikda bо‘lmaganligi 
sababli hodisalar yig‘indisining ehtimolligi ularning ehtimolliklari yig‘indisiga 
teng.U holda,
 
k
n
k
k
n
n
q
p
C
k
P


(3.1) 
yoki 
 


k
n
k
n
q
p
k
n
k
n
k
P



!
!
!
(3.1
1
) 
(3.1) formula