Повышение надежности и долговечности машин и механизмов 1 федеральное государственное бюджетное

Актуальные проблемы расчета и конструирования машин и механизмов. Моделирование,
управление, автоматизация проектирования механических систем 
________________________________________________________________________________ 
169 
цией данного устройства. Расчетные нормальные напряжения, возникающие в секции 
и сварных швах, не превышают допускаемых значений. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1. Лащинский А.А. Основы конструирования и расчета химической аппаратуры: спра-
вочник /А.А. Лащинский, А.Р. Толчинский. – Москва: Альянс, 2013. – 752 с. 
2. Иванов М.Н. Детали машин: учебник / М.Н. Иванов, В.А. Финогенов. – Москва: 
Юрайт, 2010. – 408 с. 
УДК 621.311 
Д. И. Горохов, Е. П. Милосердов
46
 
 
ФГБОУ ВО Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина 
 
АППРОКСИМАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ ВЫПУКЛЫМИ
МНОГОГРАННИКАМИ 
Ключевые слова:
Аппроксимация поверхности сферы, многогранники. 
Аннотация:
Рассмотрен метод аппроксимации поверхности сферы выпуклыми мно-
гогранниками различного вида: правильными многогранниками, полуправильными много-
гранниками (многогранниками Архимеда и Каталана), а также многогранниками, созданны-
ми на их основе. Оценены наиболее перспективные решения.
D. I. Gorokhov, E. P. Miloserdov 
АPPROXIMATION OF THE SPHERE SURFACE BY CONVEX POLYHEDRA 
Keywords
: Approximation of the sphere surface, рolyhedrons. 
Abstract
: А method for approximating the surface of a sphere with convex polyhedra of 
various types is considered: regular polyhedra, semi-regular polyhedra (Archimedes and Catalan 
polyhedra), and polyhedra created on their basis. The most promising solutions are evaluated.
Аппроксимация (моделирование) поверхностей – это способ, при котором до-
стигается приближенная замена каких-либо исходных сложных геометрических обра-
зов более простыми и технологичными, легко описываемыми. Особенный интерес 
представляет твердотельное моделирование, что позволяет с помощью современных 
технологий непосредственно изготовить детали. В настоящее время моделирование 
поверхности представляет значительный практический интерес и применяется в раз-
личных отраслях человеческой деятельности. Поверхность может быть задана раз-
личным, и часто достаточно сложным для данной задачи моделирования образом. В 
результате можно заменить сложную поверхность другими, более простыми поверх-
ностями с хорошо известными свойствами, что в известной мере упрощает исследо-
вания, связанные с такими поверхностями. Далеко не всегда целесообразно добивать-
46
© Горохов Д. И., Милосердов Е. П., 2020 

---

НАДЕЖНОСТЬ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ МАШИН И МЕХАНИЗМОВ 
________________________________________________________________________________ 
170 
ся аналитического описания всей поверхности или ее отдельных участков. Можно, 
например, аппроксимировать сложную поверхность кусочно-линейной поверхностью 
первого порядка, которые являются развертывающимися поверхностями. В данном 
случае аппроксимация сложных поверхностей развертывающимися поверхностями 
является наиболее интересной. Так как развертывающиеся поверхности в геомет-
рии наиболее хорошо изучены, и при этом обладают еще набором свойств, широко 
используемых на практике при конструировании. Важным из этих свойств можно 
назвать способность развертываться на плоскость, что имеет большое практическое 
значение при конструировании различных деталей, что очень значимо при упроще-
нии технологического процесса при изготовлении изделия с развертывающейся по-
верхностью. Поверхность детали в таком случае можно обрабатывать в прямолиней-
ном направлении, вдоль всей образующей. Вследствие этого технология обработки 
такого изделия значительно упрощается. 
В первую очередь рассмотрим правильные многогранники, в качестве которых 
могут быть Платоновы тела: из таких многогранников представляют интерес икосаэдр 
и додекаэдр. 
Если рассмотреть другие перспективные многогранники, т.е. смысл
использовать так называемые полуправильные многогранники (Архимедовы и 
Каталановые тела) [1]. 
Полуправильные многогранники относятся к трем различным группам. Первая 
группа состоит из 13 полиэдров (тела Архимеда), получаемых из правильных тел усе-
чением их вершин (кроме ромбокубоктаэдра); из них первые пять представляют су-
щественный интерес применительно к КП атомов в периодических неорганических 
кристаллах; тогда как остальные восемь имеют меньшее значение.
Другие две группы полуправильных многогранников представлены призмами и 
антипризмами. Призмы имеют в качестве верхнего и нижнего основания пару 
параллельных граней в форме правильных n-угольников (в идеальном случае – 
правильных) и, кроме того, n вертикальных квадратных граней. Таким образом, 
гексаэдр может быть также отнесен и к этому классу. У антипризм, которые могут 
быть получены из соответствующих n-гональных призм вращением верхнего 
основания относительно нижнего на угол , n квадратных граней заменяются на 2n 
треугольных граней. Из правильных многогранников к антипризмам можно отнести 
октаэдр (используя одну из треугольных граней в качестве нижнего основания). 
Известен также ряд полиэдров, которые дуальны по отношению к архимедовым 
телам, призмам и антипризмам и соответствуют полуправильным полиэдрам. Эти 
многогранники называют телами Каталана, который описал их в 1865 году (хотя 
первым в 1830 г. вывел дуальные к телам Архимеда многогранники И. Гессель, но, как 
и многие его другие труды, эта работа оказалась в то время не востребована).
С точки зрения аппроксимации сферы из Каталановых многогранников особую 
роль играют симметричные многогранники ромбододекаэдр (многогранник, 
дуальный кубоктаэдру) и бипирамиды (многогранники, дуальные n-гональным 
призмам) 
Можно предложить критерий, по которым можно оценить качество 
аппроксимации поверхности сферы: отношение диаметров вписанной и описанной 
вокруг многогранника сферы и заданной сферы. В соответствии с этим критерием 
рассмотрим разные виды многогранников, наиболее подходящие для аппроксимации 
сферы [1] Для икосаэдра отношение радиусов вписанной и описанной сферы: 0.94 

---