А. А. Самарский, А. В. Гулин



Download 18,25 Mb.
Pdf ko'rish
bet99/257
Sana19.04.2022
Hajmi18,25 Mb.
#562450
1   ...   95   96   97   98   99   100   101   102   ...   257
Bog'liq
А. А. Самарский, А. В. Гулин

L n [ / ( x ) ]
не сходится к f(x) равномерно на отрезке
[ а,
Ь].
Для заданной непрерывной функции 
}{х)
можно добиться схо­
димости за счет выбора расположения узлов интерполяции. Спра­
ведлива т е о р е м а М а р ц и н к е в и ч а (см. [24, с. 519]): 
если
f(x) непрерывна на [а, Ь], то найдется такая последовательность
Рис. 4. График интерполяцион­
ного многочлена для функции
135


сеток, для которой соответствующий интерполяционный процесс
сходится равномерно на [а, Ь].
Заметим, что построить такие сетки чрезвычайно сложно и, кро­
ме того, для каждой функции требуется своя сетка. В практике 
вычислений избегают пользоваться интерполяционными многочле­
нами высокой степени. Вместо этого применяется кусочнополино­
миальная интерполяция, пример которой будет рассмотрен в § 4.
§ 3. Интерполирование с кратными узлами
1

Интерполяционный многочлен Эрмита. 
В предыдущих пара­
графах предполагалось, что в узлах интерполяции заданы только 
значения функции 
f(x).
Более общая постановка задачи интерпо­
лирования состоит в следующем.
В узлах xke [ a ,
b], k =
0, 1, . . . ,
т,
среди которых нет совпадаю­
щих узлов, заданы значения функции 
f (x h)
и ее производных 
f (l>(xh)
до порядка 7V*-— 1 включительно, t = 1, 2, . . . ,
Nk
—1. Таким образом, 
в 
каждой точке 
xh, k = 0,
1
, . . . ,
т,
известны
f ( x k), f'(xh),
Г * - 1’ 
(хк)
и, следовательно, всего известно 
N0 + Ni + .. . + Nm
величин. Требу­
ется построить алгебраический многочлен 
Ип{х)
степени 
п =
= N 0+ N l + ... + Мт
— I, для которого
tf< 4 v k) = r > ( * k), 
k = 0,
l , . . . , m , г =
0

1
, . . . ,
N
h—
1

(
1
)
Многочлен 
Нп{х),
удовлетворяющий условиям (1), называется 
интерполяционным многочленом Эрмита
для функции 
f(x).
Число 
А\
называется 
кратностью узла хк.
Докажем, что интерполяционный многочлен Эрмита существует 
и единствен. Условия интерполяции (1) представляют собой систе­
му линейных алгебраических уравнений относительно коэффициен­
тов а0, ад, . . . , ап многочлена
Нп{х) = а 0 + а1х + . .
. + а„
хп.
Число уравнений этой системы равно числу неизвестных и равно 
Лд + Лд-К. 
. + Nm.
Поэтому достаточно показать, что однородная си­
стема
H " ( x k) = Q,
6
= 0, 1, . . . , 
m, i = 0,
1, . . . , 
Nk
— 
1

(2)
имеет только тривиальное решение а
0
= а, = . . . = оп =
0
.
Группа условий (2) при фиксированном 
k
и 
i = 0 ,
1, . . . ,
N
k—1 
означает, что число 
хк
является корнем кратности 
Nk
многочлена 
Нп(х).
Таким образом, многочлен 
Нп(х)
имеет всего с учетом крат­
ности не менее 
Na + N l + .. . + Nm= n + l
корня на [а, 
Ь].
Поскольку 
степень 
Н„(х)
равна 
п,
этот многочлен тождественно равен нулю, 
следовательно, равны нулю его коэффициенты и однородная систе­
ма уравнений (
2
) имеет единственное решение 
а0 — а1 — . .. = ап=
0

Неоднородная система (
1
) однозначно разрешима при любых пра­
вых частях.
136


Поскольку значения / (i)(x*), /г = 0, 1, 
m, i = 0, 1, 
Л\— 1,
входят только в правую часть системы (
1
), коэффициенты 
as
мно­
гочлена 
Нп(х
) выражаются линейно через значения 
/ <0
(xk),
и этот 
многочлен можно представить в виде линейной комбинации
т N k- '
//„ ( * ) =
2
2
cki{ x ) f ( x k),
k = 0 i —0
где 
chi(x)
— многочлены степени 
п.
Ввиду громоздкости выражений для 
cki(x)
мы их не приводим. 
Получим представление для погрешности интерполирования
rn{ x ) = f ( x ) — Hn(x).
Для этого рассмотрим, как и в § 2, вспомогательную функцию
g ( s ) = f ( s ) —Hn(s) — Ka(s),
 
(3)
где 
К
— постоянная и
со (s) = (s — х,,)^ (s — x1)‘v‘ . . . (s — 
xm)N'n.
 
(4)
Постоянную 
К
выберем так, чтобы в точке интерполирования х 
выполнялось условие 
g{x)
=
0
, т. е. положим

Download 18,25 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   95   96   97   98   99   100   101   102   ...   257




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish