А. А. Самарский, А. В. Гулин

(
9
)
A k
~
i =
~ “ u
•
■ “ 1 ,4 - 1
> 
#
4 - 1
—
~“ l
4
'
- “ 4 - 1 ,1 •
■ “ 4 - 1 , 4 - 1 -
- “
4
-
1
,
4
-
бк—
1 
) Щ,й—
1)«
Согласно предположению индукции существует требуемое разло­
жение матрицы 
Ак- и
т. е.
Л*-1 =
Lk-iUk-i,
где 
Lh_u Uк-
1
— соответственно нижняя и верхняя треугольные мат-
56

---

рицы, обладающие указанными в теореме свойствами. Будем искать 
разложение матрицы (9) в виде
Л =
0 ' 
hi-i hik
'Jk-,
«А-Л
, 0
1 J
(
10
)
где /й_ь 
и,,-
1
— неизвестные пока векторы,
4 - i = ( 4 i , /
а
2
, • • ■ ! 
K,k-i) , 
Uk- i = ( u lk, U-ik, . . . , Uh- i h) T.
Перемножая матрицы в правой части уравнения (10) и учитывая
(9), приходим к системе уравнений
Lk-iUk-i
 =
Як-и
 
(11)
h-iUk-i
 =
Ьи~
 1, 
(12)
Ik-iU-k-i
 +
Ikk = 0,kk.
 
(13)
Из предположения индукции следует существование матриц 
Lk-U
Uk-i.
Поэтому из (И ) и (12) получим
U к
-1 == T v -l'T -1, 
I k
- 1 
b k —i U k —i
и, далее,
/
а
А = Щ
а
 
Ik-lU-h-t-
Таким образом, /.//-разложение матрицы Л порядка 
k
сущест­
вует. Остается доказать, что 
1ккФ
0. Рассмотрим определитель мат­
рицы Л. Из разложения (10) следует, что
del Л = (det 
Lk- t)l
hh(det //„-О = (det /.„_,)/**•
По условию теоремы бе1:Л=5^0, следовательно, 
1кк=£0.
Тем самым 
индукция завершена и доказана возможность требуемого разло­
жения.
Покажем теперь, что такое разложение единственно. Предполо­
жим, что матрицу Л можно разложить двумя способами:
A = L iUi ~ L 2U2.
Тогда 
L2 = LJJ JJ~2
и
(14)
Матрица в левой части уравнения (14) является верхней треуголь­
ной, а в правой части — нижней треугольной. Такое равенство воз­
можно лишь в случае, если матрицы 
и 
L[
l
L2
диагональные.
Но на диагонали матрицы 
UyU21
(а следовательно, и матрицы 
L ilL2)
стоят единицы, следовательно, эти матрицы единичные:
U хЩ1
=
l^~Li = Е.
Отсюда получаем 
и { = 1!2,
L, = L2, т. е. разложение (8) единственно. 
Теорема об /.(/-разложении полностью доказана.