|
)
H
v
+
t
Л2
и
и учитывая неотрицательность
г(х),
убеждаемся в том, что усло
вия положительности коэффициентов выполнены при всех
h.
Точ
но так же, если
г(х)
^ 0 , то схема
Ус+i
^Ус
+
y t-_i
,
Ус — У ^
с
-----г
r i
---- ;---- — —
[ с
h?
монотонна при любых
h
и имеет первый порядок аппроксимации.
В общем случае представим функцию
г{х)
в виде суммы
г(х) =
= г + (х)
+
г- (х
) , где
г+(х)=0,5(г(х) + |г ( х ) |) ^ 0 , г _ (х )= 0 ,5 (г (х )-|г (х ) |) < 0 . (2)
Схема с «направленными разностями»
Ус
+1
“Ус
-f-
Л*
Г+ (хд
+
Г_ (xi)
Ус — Ус- i
h
ft
(
3
)
является, как нетрудно видеть, монотонной при любых
h,
но имеет
первый порядок аппроксимации. Изучим подробнее асимптотику
погрешности аппроксимации
+ /■+
(хс) ихЛ
+
r_ (xi)
u - L + f t
(4)
этой разностной схемы. Пользуясь разложением по формуле Тейло
ра, получим
=
и" (xi)
+
О (h
2),
ихЛ
=
и' (xi)
+ 1
и (xi)
+
О (К1),
и- [ — и' (xi)
— —
и” (xi)
-f-
О (К1).
Подставляя эти разложения в выражение (4) и приводя подобные
члены, имеем
'Pi -
(и\
+
fi)\+
(r+ (х,) + r_ (X,))
и' (Xi)
+ 0,5
h
(r+ -
г_) щ
+
О ( h \
откуда, учитывая (1) и (2), получим
ф» = 0,5
h
| г
(xi)
|
и ’с
+
О
(Л2).
Отсюда видно, что несколько измененная по сравнению с (3) схема
и.
. —
9.и.~
I— г / -
и .
—
и.
< 1 — 0,5/г |
г (xi)
|
г г
а
Ус-
li
+
г- (хс)-
- ± = - f c
имеет второй порядок аппроксимации. Порядок аппроксимации не
309
уменьшится, если коэффициент
!— —\г (х)\
заменим с точностью до
0 ( h z)
положительным коэффициентом
1
1 +0.5Л I г (
jc
£) |
Таким образом, разностная схема
^Ухх.с + г+ (*д У*Л + г- (хд Ух.1 = — Л
(5)
(
6
)
имеет второй порядок аппроксимации на решении уравнения (1).
Записывая схему (6) в виде
2
,
r+ (xc)
r_(xt) \ 4i _
h2 '
h
Л
)
~
=
+ п г )
yui + { ^ ~
Ч г )
ш
-1 +
fl'
убеждаемся в том, что она монотонна при любых т и
h.
Для параболического уравнения
ди
д2и ,
. ,
да
— = ------
h г (х)
—
dt
дх2
w
дх
монотонной при любых т и
h
схемой является чисто неявная схема
У Г - У ?
+
+ Г-(*дУ%,
(7>
где
определяется согласно (5). Схема (7) имеет аппроксимацию
0 ( r + h2).
Г Л А В А 3
МЕТОД РАЗДЕЛЕН ИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Метод разделения переменных успешно применяется для по
строения решений разностных схем, главным образом с постоянны
ми коэффициентами, и для исследования сходимости. В основе ме
тода лежит разложение решения разностной задачи по системе ее
собственных функций. Требование полноты системы собственных
функций сильно сужает класс рассматриваемых задач, и мы огра
ничиваемся в этой главе лишь задачами с самосопряженными опе
раторами типа разностного оператора Лапласа. В § J, 2 изучаются
спектральные свойства разностных операторов, далее в § 3 мето
дом разделения переменных проводится исследование устойчивости
и сходимости разностных схем для уравнения теплопроводности.
В остальных параграфах рассматриваются экономичные методы
нахождения решений разностных краевых задач с постоянными ко
эффициентами, основанные на методе разделения переменных.
310
§ 1. Разностная задача на собственные значения
1.
Оператор второй разностной производной.
Каждую разност
ную краевую задачу можно рассматривать как операторное урав
нение с операторами, действующими в некотором линейном конеч
номерном пространстве (пространстве сеточных функций). Рас
смотрим, например,разностное уравнение
Ухх.1 = — [‘<
i = l >2
.........
N — l, уй = \1и yN = t o
0 )
на сетке
со/1= {х;=
ih,
j' = 0, 1, . . . ,
N, h N = l
}.
(2)
Исключая из системы уравнений (1) с помощью граничных
условий значения y0 = Pi и
yN = y
2, придем к эквивалентной систе
ме уравнений
—
У
I—
! + 2
Ус — у{.
h
2
■
= fh
i = 2, 3, .. . ,
N
— 2,
(3)
2j/i —
Уг
/г2
г
- V
n
- 2 +
2у
ы- 1
г
Ч и
—
I
n
- и
где / i = / i + p.i//i2,
+
Рассмотрим множество векторов
у = (уи уг, .
. . , yN- i ) T,
Уг = у{х{),
и определим на этом множестве оператор
А
формулами
(Ау)с = - y - x i,
l =
2, 3, . .. ,
N
— 2,
(4)
Тогда систему (3) можно записать в виде операторного уравнения
Ay = U
(5)
где
f =
(fi, /2, . . . , f/v-z, fjv-i)T- Отметим, что уравнение (5) учиты
вает как правую часть разностной схемы (1), так и ее граничные
условия.
Итак, разностная задача (1) порождает разностный оператор
(4). Оператор (4) определен на множестве функций, заданных
только во внутренних точках сетки соЛ, т. е. при
i =
1, 2, . . . ,
N
—1.
Удобнее, однако, считать, что оператор
А
определен на подпрост
ранстве
Н
функций, заданных на всей сетке со* и обращающихся в
нуль на границе:
ya= y N= 0 .
При этом оператор
А
задается едино
образными формулами
( A y ) i = - y - Xti,
t = 1, 2, . .. ,
N —
1,
yar=yN =
0
(6)
во всей области определения.
Оператор
А,
определенный согласно (6), будем называть
опера
тором второй разностной производной.
Изучим свойства этого опе
ратора.
31
Do'stlaringiz bilan baham: |
