Electric Motors and Drives This Page Intentionally Left Blank

Z
2
Z
2
N
1
V
1
V
1
I
1
I
1
N
2
V
2
I
2
(a)
(b)
Ideal
transformer
Ideal
transformer
V
2
Figure 7.6
Equivalent circuits of ideal transformer
248
Electric Motors and Drives

---

The winding resistances are included by adding resistances
R
1
and
R
2
,
respectively in series with the primary and secondary of the ideal trans-
former, as shown in Figure 7.7.
The transformer in Figure 7.7 is shown without a secondary load i.e. it
is under no-load conditions. As previously explained the current drawn
from the supply in this condition is known as the magnetising current,
and is therefore denoted by
I
m
.
Because the ideal transformer (within the dotted line in Figure 7.7) is
on open-circuit, the secondary current is zero and so the primary current
must also be zero. So to allow for the fact that the real transformer has a
no-load magnetising current we add an inductive branch (known as the
‘magnetising reactance’) in parallel with the primary of the ideal trans-
former, as shown in Figure 7.7. In circuit theory terms, the magnetising
reactance is simply the reactance due to the self-inductance of the
primary of the transformer. Its value re
X
ects the magnetising current,
as discussed later.
We now need to recall that when we apply Kircho
V
’s law to the
primary winding, we obtain equation (7.1), which includes the term
I
m
R
1
, the volt-drop across the primary resistance due to the magnetising
current. It turns out that when a transformer is operated at its
rated voltage, the term
I
m
R
1
is very much less than
V
1
, so we can
make the approximation
V
1
E
1
, i.e. in a real transformer the induced
e.m.f. is equal to the applied voltage, just as in the ideal transformer.
This is a welcome news as it allows us to use the simple design
equation linking
X
ux, voltage and turns (developed in Section 7.3.1 for
the ideal transformer) for the case of the real transformer. More import-
antly, we can continue to say that the
X
ux will be determined by the
applied voltage, and it will not depend on the reluctance of the magnetic
circuit.
However, the magnetic circuit of the real transformer clearly has some
reluctance, so it is to be expected that it will require a current to provide
X
m
N
1
V
1
V
2
R
1
I
m
I
m
N
2
R
2
Ideal
transformer
E
2
E
1
Figure 7.7
Equivalent circuit of real transformer under no-load conditions, allowing for
presence of magnetising current and winding resistances
Induction Motor Equivalent Circuit
249

---

the MMF needed to set up the
X
ux in the core. If the reluctance is
R
and
the peak
X
ux is
f
m
, the magnetic Ohm’s law gives
MMF
¼
N
1
I
m
¼ R
f
m
,
;
I
m
¼
R
f
m
N
1
(7
:
11)
The magnetising reactance
X
m
is given by
X
m
¼
V
1
I
m
(7
:
12)
In most transformers the reluctance of the core is small, and as a result
the magnetising current (
I
m
) is much smaller than the normal full-load
(rated) primary current. The magnetising reactance is therefore high,
and we will see that it can be neglected for many purposes.
However, it was pointed out in Section 7.2 that the induction motor
(our ultimate goal!) resembles a transformer with two air-gaps in its
magnetic circuit. If we were to simulate the motor magnetic circuit
by making a couple of saw-cuts across our transformer core, the
reluctance of the magnetic circuit would clearly be increased because,
relative to iron, air is a very poor magnetic medium. Indeed, unless
the saw-blade was exceptionally thin we would probably
W
nd that
the reluctance of the two air-gaps greatly exceeded the reluctance of the
iron core.
We might have thought that making saw-cuts and thereby substan-
tially increasing the reluctance would reduce the
X
ux in the core, but we
need to recall that provided the term
I
m
R
1
is very much less than
V
1
, the
X
ux is determined by the applied voltage, and the magnetising current
adjusts to suit, as given by equation (7.11). So when we make the saw-
cuts and greatly increase the reluctance, there is a compensating large
increase in the magnetising current, but the
X
ux remains virtually the
same.
We can see that there must be a
small
reduction in the
X
ux when we
increase the reluctance by rearranging equation (7.1) in the form:
I
m
¼
V
1
E
1
R
1
From which we can see that the only way that
I
m
can increase to
compensate for an increase in the reluctance is for
E
1
to reduce. How-
ever, since
E
1
is very nearly equal to
V
1
, a very slight reduction in
E
1
(and hence a very slight reduction in
X
ux) is su
Y
cient to yield the
required large increase in the magnetising current.
250
Electric Motors and Drives

---

The
W
nal re
W
nement of the no-load model takes account of the fact
that the pulsating
X
ux induces eddy current and hysteresis losses in the
core. The core is laminated to reduce the eddy current losses, but the
total loss is often signi
W
cant in relation to overall e
Y
ciency and cooling,
and we need to allow for it in our model. The iron losses depend on the
square of the peak
X
ux density, and they are therefore proportional to
the square of the induced e.m.f. This means that we can model the losses
simply by including a resistance (
R
c
– where the su
Y
x denotes ‘core
loss’) in parallel with the magnetising reactance, as shown in Figure 7.8.
The no-load current (
I
0
) consists of the reactive magnetising compon-
ent (
I
m
) lagging the applied voltage by 90
8
, and the core-loss (power)
component (
I
c
) that is in phase with the applied voltage. The magnetis-
ing component is usually much greater than the core-loss component, so
the real transformer looks predominantly reactive under open-circuit
(no-load) conditions.
Real transformer – leakage reactance
In the ideal transformer it was assumed that all the
X
ux produced by
the primary winding linked the secondary, but in practice some of the
primary
X
ux will exist outside the core (see Figure 1.7) and will not link
with the secondary. This leakage
X
ux, which is proportional to the
primary current, will induce a voltage in the primary winding whenever
the primary current changes, and it can therefore be represented by a
‘primary leakage inductance’ (
l
1
) in series with the primary winding of
the ideal transformer. We will normally be using the equivalent circuit
under steady-state operating conditions at a given frequency (
f
), in
which case we are more likely to refer to the ‘primary leakage reactance’
(
X
1
¼
v
l
1
¼
2
p
X
1
) as in Figure 7.9.
The induced e.m.f. in the secondary winding arising from the secondary
leakage
X
ux (and thus proportional to the secondary current) is modelled