Electric Motors and Drives This Page Intentionally Left Blank

particularly over the motoring region from
s
¼
0 to
s
¼
1. (The treat-
ment can easily be extended to cover the braking and generating regions,
but they are not included here.)
Analysis
The total rotor power per phase is given by
P
2
¼
P
rotor
¼
(
I
0
2
)
2
R
0
2
s
¼
V
2
1
X
2
T
þ
(
R
0
2
=
s
)
2
R
0
2
s
¼
V
2
1
sR
0
2
R
0
2
2
þ
s
2
X
2
(7
:
24)
The bracketed expression on the right-hand side of equation (7.24)
indicates how the torque varies with slip.
At low values of slip (i.e. in the normal range of continuous operation)
where
sX
is much less than the rotor resistance
R
0
2
, the torque becomes
proportional to the slip and inversely proportional to the rotor resist-
ance. This explains why the torque–speed curves we have seen in
Chapters 5 and 6 are linear in the normal operating region, and why
the curves become steeper as the rotor resistance is reduced.
At the other extreme, when the slip is 1 (i.e. at standstill), we usually
W
nd that the reactance is larger than the resistance, in which case the
bracketed term in equation (7.24) reduces to
R
0
2
=
X
2
. The starting torque
is then proportional to the rotor resistance, a result also discussed in
Chapters 5 and 6.
V
1
X
T
R
2
R
2
(1
−
s
)
s
I
1
= 
I
2
V
1
X
T
R
2
s
I
1
= 
I
2
(a)
(b)
Figure 7.17
Equivalent circuits for induction motor with magnetising branch neglected
270
Electric Motors and Drives

---

By di
V
erentiating the bracketed expression in equation (7.24) with
respect to the slip, and equating the result to zero, we can
W
nd the slip at
which the maximum torque occurs. The slip for maximum torque turns
out to be given by
s
¼
R
0
2
X
T
(7
:
25)
(A circuit theorist could have written down this expression by inspection
of Figure 7.17, provided that he knew that the condition for maximum
torque was that the power in the rotor was at its peak.)
Substituting the slip for maximum torque in equation (7.24), and
using equation (7.21) we obtain an expression for the maximum torque
per phase as:
T
max
¼
V
2
1
v
s
1
2
X
T
(7
:
26)
From these two equations we see that the slip at which maximum torque
is developed is directly proportional to the rotor resistance, but that the
peak torque itself is independent of the rotor resistance, and depends
inversely on the leakage reactance.
Graphical interpretation via phasor diagram
We will look at the current phasor diagram as the slip is varied, for two
motors, both having the same leakage reactance,
X
T
. One motor will be
representative of the ‘low-resistance’ end of the scale (
R
0
2
¼
0
:
1
X
T
) while
the other will represent the ‘high-resistance’ end (
R
0
2
¼
X
T
). As before,
the voltage and frequency are constant throughout.
The reason for choosing total leakage reactance as the common factor
linking the two motors is simply that the current loci (see below) are then
very similar, and the peak torques are the same, which makes it easier to
compare the shapes of the torque–slip curves.
The locus of the load current phasors as the slip varies is shown on the
left-hand side of Figure 7.18, while on the right-hand side the torque–
slip curves are shown.
The locus of current with slip is semicircular, the motoring condition
extending only over the range from
s
¼
0 to
s
¼
1. The point corre-
sponding to
s
¼
in
W
nite is important because it de
W
nes the diameter of
the locus as
V
=
X
T
: it is shown by the dot on the horizontal axis. The
Induction Motor Equivalent Circuit
271

---

remainder of the circular locus (not shown) corresponds to negative slip,
i.e. generator action.
The torque is proportional to total rotor power input, and the rotor
power input is given by
P
rot
¼
V
1
I
0
2
cos
f
r
, where
f
r
is the rotor power-
factor angle, i.e. the angle between the referred rotor current and the
voltage. Since the voltage is constant and
I
0
2
cos
f
r
is the ‘in-phase’ com-
ponent of current, i.e. the vertical component in Figure 7.18, it follows
that the torque is directly proportional to the projection of the current
phasor onto the voltage, i.e. to the height of the tip of the current above
the horizontal line through the point marking
s
¼
0. This has been em-
phasised in Figure 7.18 by drawing the adjacent torque–slip curves to a
scale calibrated in terms of the peak (pull-out) torque, the value of which
is determined by the radius of the circle, as indicated in equation (7.26).
These curves con
W
rm the
W
nding in equation (7.25) that the peak torque is
reached when the slip is equal to the ratio of rotor resistance to reactance.
We note that although the high-resistance motor has a lower starting
current, it produces a much greater starting torque because the current
lags the voltage by only 45
8
compared with over 84
8
for the low-
resistance motor. On the other hand the gradient of the torque–slip
curve in the normal operating region is much steeper for the low-
V
X
T