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I
1
V
1
V
2
R
T
I
m
X
T
X
m
I
2
Z
2
I
1
V
1
V
2
Z
2
R
1
I
m
I
c
X
1
(a)
X
2
R
2
I
2
X
m
R
c
Figure 7.11
‘
Approximate’ equivalent circuit of real transformer
Induction Motor Equivalent Circuit
255

---

Measurement of parameters
Two simple tests are used to measure the transformer parameters – the
open-circuit or no-load test and the short-circuit test. We will see later
that very similar tests are used to measure induction motor parameters.
In the open-circuit test, the secondary is left disconnected and with
rated voltage (
V
1
) applied to the primary winding, the input current (
I
0
)
and power (
W
0
) are measured.
If we are seeking values for the three-element model in Figure 7.11(b),
we would expect no power at no load, because the only circuit is that via
the magnetising reactance
X
m
. So if, as is usually the case, the no-load
input power
W
0
is very much less than
V
1
I
0
(i.e. the transformer looks
predominantly reactive) we assume that the input current
I
0
is entirely
magnetising current and deduce the value of the magnetising reactance
from
X
m
¼
V
1
I
0
(7
:
14)
(If we want to use the more accurate model in Figure 7.11(a), we note
that the input power will be solely that due to the iron loss in the resistor
R
c
. Hence
W
0
¼
V
2
1
=
R
c
, i.e.
R
c
¼
V
2
1
=
W
0
.)
In the short-circuit test the secondary terminals are shorted together
and a low voltage is applied to the primary – just su
Y
cient to cause rated
current in both windings. The voltage (
V
sc
), current (
I
sc
) and input
power (
W
sc
) are measured.
In this test,
X
m
is in parallel with the impedance
Z
T
(i.e. the series
combination of
X
T
and
R
T
), so the input current divides between the two
paths. However, the reactance
X
m
is invariably very much larger than
the impedance
Z
T
, so we usually neglect the small current through
X
m
and assume that the current
I
sc
X
ows only through
Z
T
.
The resistance can then be derived from the input power using the
relationship:
W
sc
¼
I
2
sc
R
T
,
;
R
T
¼
W
sc
I
2
sc
(7
:
15)
And the leakage reactance can be derived from
Z
T
¼
V
sc
I
sc
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
R
2
T
þ
X
2
T
q
(7
:
16)
To split the resistances, the primary and/or secondary winding resist-
ances are measured under d.c. conditions.
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Electric Motors and Drives

---

A great advantage of the open-circuit and short-circuit tests is that
neither require more than a few per cent of the rated power, so both can
be performed from a modestly rated supply.
Significance of equivalent circuit parameters
If the study of transformers was our aim, we would now turn to some
numerical examples to show how the equivalent circuit was used to
predict performance: for example, we might want to know how much
the secondary voltage dropped when we applied the load, or what the
e
Y
ciency was at various loads. But our aim is to develop an equivalent
circuit to illuminate induction motor behaviour, not to become experts
at transformer analysis, so we will avoid quantitative study at this point.
On the other hand, as we will see, the similarities with the induction
motor circuit mean that there are several qualitative observations that
are worth making at this point.
Firstly, if it were possible to choose whatever values we wished for the
parameters, we would probably look back at the equivalent circuit of the
ideal transformer, and try to emulate it by making the parallel elements
in
W
nite, and the series elements zero. And if we only had to think about
normal operation (from no-load up to rated load) this would be a
sensible aim, as there would then be no magnetising current, no iron
losses, no copper losses and no drop in secondary voltage when the load
is applied.
Most transformers do come close to this ideal when viewed from an
external perspective. At full load the input power is only slightly greater
than the output power (because the losses in the resistive elements are a
small fraction of the rated power); and the secondary voltage falls only
slightly from no-load to full-load conditions (because the volt-drop
across
Z
T
at full-load is only a small fraction of the input voltage).
But in practice we have to cope with the abnormal as well as the
normal, and in particular we need to be aware of the risk of a short-
circuit at the secondary terminals. If the transformer primary is supplied
from a constant-voltage source, the only thing that limits the secondary
current if the secondary is inadvertently short-circuited is the series
impedance
Z
T
. But we have already seen that the volt-drop across
Z
T
at rated current is only a small fraction of the rated voltage, which
means that if rated voltage is applied across
Z
T
, the current will be
many times a rated value. So the lower the impedance of the trans-
former, the higher the short-circuit current.
From the transformer viewpoint, a current of many times rated value
will soon cause the windings to melt, to say nothing of the damaging
Induction Motor Equivalent Circuit
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inter-turn electromagnetic forces produced. And from the supply view-
point the fault current must be cleared quickly to avoid damaging
the supply cables, so a circuit breaker will be required with the
ability to interrupt the short-circuit current. The higher the fault
current, the higher the cost of the protective equipment, so the supply
authority will normally specify the maximum fault current that can be
tolerated.
As a transformer designer we then face a dilemma: if we do what
seems obvious and aim to reduce the series impedance to improve the
steady-state performance, we
W
nd that the short-circuit current increases
and there is the problem of exceeding the permissible levels dictated by
the supply authority. Clearly the so-called ideal transformer is not what
we want after all, and we are obliged to settle for a compromise. We
deliberately engineer su
Y
cient impedance (principally via the control of
leakage reactance) to ensure that under abnormal (short-circuit) condi-
tions the system does not self-destruct!
In Chapters 5 and 6, we mentioned something very similar in relation
to the induction motor: we saw that when the induction motor is started
direct-on-line it draws a heavy current, and limiting the current requires
compromises in the motor design. We will see shortly that this behaviour
is exactly like that of a short-circuited transformer.
DEVELOPMENT OF THE INDUCTION MOTOR
EQUIVALENT CIRCUIT
Stationary conditions
In Section 7.2 it was shown that, on a per-phase basis, the stationary
induction motor is very much like a transformer, so to model the induc-
tion motor at rest we can use any of the transformer equivalent circuits
we have looked at so far.
We can represent the motor at rest (the so-called ‘locked rotor’ condi-
tion) simply by setting
Z
0
2
¼
0 in Figure 7.11. (For a wound-rotor motor
we would have to increase
R
T
to account for any external rotor-circuit
resistance.) Given the applied voltage we can calculate the current and
power that will be drawn from the supply, and if we know the e
V
ective
turns ratio we can also calculate the rotor current and the power being
supplied to the rotor.
But although our induction motor resembles a transformer, its pur-
pose in life is very di
V
erent because it is designed to convert electrical
power to mechanical power, which of necessity involves movement. Our
locked-rotor calculations will therefore be of limited use unless we can
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Electric Motors and Drives

---

calculate the starting torque developed. Far more importantly, we need
to be able to represent the electromechanical processes that take place
over the whole speed range, so that we can predict the input current,
power and developed torque at any speed. The remarkably simple and
e
V
ective way that this can be achieved is discussed next.
Modelling the electromechanical energy conversion process
In Chapters 5 and 6 we saw that the behaviour of the motor was
determined primarily by the slip. In particular we saw that if the
motor was unloaded, it would settle at almost the synchronous speed
(i.e. with a very small slip), with very little induced rotor current, at very
low frequency. As the load torque was increased the rotor slowed
relative to the travelling
X
ux; the magnitude and frequency of the
induced rotor currents increased; the rotor thereby produced more
torque; and the stator current and power drawn from the supply auto-
matically increased to furnish the mechanical output power.
A very important observation in relation to what we are now seeking
to do is that we recognised earlier that although the rotor currents were
at slip frequency, their e
V
ect (i.e. their MMF) was always re
X
ected back
at the stator windings at the supply frequency. This suggests that it must
be possible to represent what takes place at slip-frequency on the rotor
by referring the action to the primary (
W
xed-frequency) side, using a
transformer-type model; and it turns out that we can indeed model
the entire energy-conversion process in a very simple way. All that is
required is to replace the referred rotor resistance (
R
0
2
) with a
W
ctitious
slip-dependent resistance (
R
0
2
=
s
) in the short-circuited secondary of our
transformer equivalent circuit.
Hence if we build from the exact transformer circuit in Figure
7.10(b), we obtain the induction motor equivalent circuit shown in
Figure 7.12.
At any given slip, the power delivered to this ‘load’ resistance repre-
sents the power crossing the air-gap from rotor to stator. We can see
straightaway that because the
W
ctitious load resistance is inversely pro-
portional to slip, it reduces as the slip increases, thereby causing the
power across the air-gap to increase and resulting in more current and
power being drawn in from the supply. This behaviour is of course in
line with what we already know about the induction motor.
We will see how to use the equivalent circuit to predict and illuminate
motor behaviour in the next section, but
W
rst there are two points worth
making.
Induction Motor Equivalent Circuit
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---

Firstly, given the complexity of the spatial and temporal interactions
in the induction motor it is extraordinary that everything can be prop-
erly represented by such a simple equivalent circuit, and it has always
seemed a pity to the author that something so elegant receives little by
way of commendation in the majority of textbooks.
Secondly, the following brief discussion is o
V
ered for the bene
W
t of
readers who are seeking at least some justi
W
cation for introducing the
W
ctitious resistance
R
0
2
=
s
, though it has to be admitted that full treatment
is beyond our scope. Pragmatists who are content to accept that the
method works can jump to the next section.
The key to developing the representation lies in ensuring that the
magnitude and phase of the referred rotor current (at supply frequency)
in the transformer model is in agreement with the actual current (at slip
frequency) in the rotor. We argued in Chapter 5 that the induced e.m.f.
in the rotor at slip
s
would be
sE
2
at frequency
sf
, where
E
2
is the
e.m.f. induced under locked rotor (
s
¼
1) conditions, when the rotor
frequency is the same as the supply frequency, i.e.
f
. This e.m.f. acts on
the series combination of the rotor resistance
R
2
and the rotor leakage
reactance, which at frequency
sf
is given by
sX
2
, where
X
2
is the rotor
leakage reactance at supply frequency. Hence the magnitude of the rotor
current is given by
I
2
¼
sE
2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
R
2
2
þ
s
2
X
2
2
q
(7
:
17)
In the supply-frequency equivalent circuit, e.g. Figure 7.9, the secondary
e.m.f. is
E
2
, rather than
sE
2
, so to obtain the same current in this model
as given by equation (7.17), we require the slip-frequency rotor resist-