Nazariy fizika kursi

r = jy*(r,;yi^(r,f)dr
Bundagi 
t
operator quyidagi m a’noda tushuniladi:
iy(r,?)= xi/A (r,r), 1>y(r,r)= 
y y ( r ,t) , 
2
\if(r ,t)= z y (r ,t). (2.5
5)
Demak, koordinata operatorlarini holat funksiyasiga ta ’siri shu holat 
funksiyasiga koordinatani k o ‘paytirish orqali amalga oshiriladi.
Berilgan koordinatalarga mos holda impuls operatorlarinig k o ‘rinishi 
quyidagicha b o ia d i:
f t . - * » . / - - - * »
< **>
dx 
dy 
dz
Yuqoridagi ikkala operatoming vektor k o ‘rinishlari esa, -
r = 
r 
va 
P 
= 
- i t N
b o ia d i, bunda 
v ~
gradiyent operatori b o ‘lib, Dekart koordinatalar 
sistemasida
k o ‘rinishga ega.
73

---

Klassik mexanikada zarrachani xarakterlovchi kattaliklardan eng 
m uhim i 
koordinata va impuls b o ig an lig i sababli, ulam i kvant 
m exanikasida operatorlar bilan almashtiriladi. Bu operatorlami у
/(x,y,z)
to iq in funksiyasiga ta’sirini k o ‘rib chiqaylik:
*(Ду)=
/
-X
at 
I 
dx
P.(S'\//)= -ih ~-(x\//)= -ifiy/ - ittsc-—-
ox 
dx
Ikkinchi qator birinchidan ayirilsa, quyidagi natijaga kelinadi:
(xPx ~Pxx})/
= 
ihy/
yoki
xPx - P xx - i h
(2.57)
Shunga o ‘xshash quyidagilami ham olish mumkin:
у Р у -Р уУ = т ,
(2.57’)
zP
2
- P zz = m .
(2.57” )
Ushbu almashtirish qoidalari Geyzenbergning o ‘rm almashtirish 
munosabatlari deyiladi. K o‘rinib turibdiki,
xPy - P yx =
0, 
yp;
-
РгУ
= о , 
zP}
-
Pyz
= 0. 
(2.58)
Shunga o ‘xshash y o l bilan, ixtiyoriy 
F(
r) funksiya uchun o ‘rin 
almashtirish munosabatlarini keltirib chiqarish mumkin:
FPx - P xF = ih
FPr - PrF = ih
FPz - P.F
= 
ih
Yuqorida keltirib chiqarilgan munosabatlardan shu narsani qayd etish 
mumkinki, kvant mexanikasida bir vaqtning o ‘zida impuls va 
koordinata aniq qiymatlarga ega b o lad ig a n holat mavjud emas. 
Boshqacha aytganda, (2.57) va (2.59) munosabatlar m a’lum b o ig a n
Geyzenbergning noaniqlik munosabatlarining operator formasidagi 
k o ‘rinishini bildiradi.
Endi 
px
operator uchun xususiy funksiyalar va xususiy qiymatlar 
masalasini k o ‘rib chiqaylik. Bu holda ushbu tenglikka egamiz:
dF_
(2.59)
dx
dF
i
—
(2.59’)
dy ’
dF
(2.59” )
dz
74

---

f'W = PrV
bunda 
p,
qiymat 
px
operatom ing xususiy qiymatini bildiradi. A 
operatoming koYinishidan foydalanib,
tenglamaga kelinadi. Bu tenglamani integrallash natijasida quyidagi 
yechimni olish mumkin:
bunda 
N -
doimiy son. Barcha sohalarda bu yechim uzluksiz, bir 
qiymatli va chekli b o ‘lishi uchun 
px
ning haqiqiy son b o ‘lishi yetarli. 
Shu tufayli 
pv
xususiy qiymatlaming spektri uzluksiz spektr b o ‘ladi va 
uning o ‘zgarish sohasi
b o ‘ladi. 
funksiyani 
S
- funksiyaga normallashganligini talab qilinsa,
to ‘lqin funksiyasidagi doimiy 
N = (
2
nh)
2 ga teng b o ‘ladi. Shunday qilib, 
Px
operatoming normallashgan va ortogonal xususiy funksiyalarining 
k o ‘rinishi quyidagicha b o iad i:
y a’ni 
¥ Pr
impuls operatorining xususiy funksiyalari de-Broyl 
to lq inlarin ing o ‘zginasi ekan.
Zarracha 
yoki 
butun 
yopiq 
sistemaning 
eng 
muhim 
xarakteristikalaridan biri harakat miqdori m omenti y a’ni impuls 
m omenti hisoblanadi. Klassik m exanikada zarrachaning impuls 
moment, deb maydon m arkazidan zarrachagacha o lk az ilg a n radius- 
vektor r n i zarracha impulsiga (harakat miqdoriga) vektor k o ‘paytmasi 
tushuniladi:
va