Nazariy fizika kursi

)2
=o 
bajariladi va 
L
kattalik 
Lx,L
2
,...Ln...
dan faqat bitta kattalikni qabul 
qiladi. Ixtiyoriy kattalik qiymatlari to ‘plamini shu kattalikning spektri 
deyiladi. Spektr ikki xil b o ‘lishi mumkin: uzlukli, y a’ni diskret va 
uzluksiz. Agar spektrda 
L„u,...Ln...
alohida qiymatlar m avjud bo‘lsa, u 
holda diskret spektr bilan ishlanadi va bu holda fizik kattalik 
kvantlangan qiymatlami qabul qiladi. Agar 
L
barcha qiymatlami qabul 
qilsa, u holda spektr uzluksiz b o ‘ladi.
Fizik 
kattaliklam i 
tavsiflovchi 
operatorlarning 
muhim 
bir 
xususiyatini k o‘rishga o ‘taylik. Bu xususiyatning mavjudligi, fizik 
kattaliklam ing o ‘rtacha qiymarlari haqiqiy sonlar bilan ifodalanishi 
kerakligi bilan, y a’ni ular uchun
Hozir 
diskret 
spektrga 
ega 
b o ‘lgan 
o ‘z-o‘ziga 
qo‘shma 
operatorlarning b a’zi-bir muhim xossalari k o ‘rib chiqiladi. Masalani 
soddalashtirish maqsadida ikkita 
u l
va 
и г
kompleks funksiyalardan 
foydalaniladi. Agarda
L = L*
shart bajarilishi bilan bog‘liqdir.
2.4 Xususiy funksiyalaming asosiy xossalari
(
2
.
17
)
65

---

b o ‘lsa va integral o ‘zgaruvchilaming o ‘zgarishi butun soha b o ‘yicha 
b o ‘lsa, u holda bu funksiyalam i ortogonal funksiyalar deyiladi.
0 ‘z-o‘ziga q o ‘shma operatorlam ing har xil xususiy qiymatlariga 
mos keluvchi xususiy funksiyalar ortogonal ekanligi ko ‘rsatiladi, y a ’ni
/ v , V B* = 0 
(2.18)
shart bajarilishi kerak. Operatom ing xususiy funksiyalari xossasiga 
binoan,
*■¥„, ~ Lmy r
va 
Ly„ = L„yfn.
(2 -19)
Birinchi tenglamaning qo‘shmasi hosil qilinadi:
L’Vm
= 
КУш ■
(2.19’)
Bu yerda eslatib o ‘taylik 
(2.19) tenglamaning ikkinchisini
Y„,'
ga, (2.19’) tenglamani esa y/„ ga k o ‘paytiriladi, keyin esa birinchi 
tenglamadan ikkinchisi ayiriladi. Natijada
Wm'L W „ -V n^ , n
= 
(L„ - Lm
V,„V„ •
Bu tenglikni o ‘zgaruvchilam i butun soha o ‘zgarishi b o ‘yicha 
integrallansa,
J
V m t w A
- j V „ i y = 
(L„ - Lm
) J yи
(2. 20)
natijani olinadi. 
L
operatorlaming o ‘z-o ‘ziga qo‘shmalik shartini 
hisobga olinsa, y a ’ni
\v„!Lw„dx = \v „ L 'v m'dx
b o ‘ladi va (2.20) tenglikning chap tomoni nolga teng. Demak,
(L„ ~ LJ l v m*V„dx = 
0
va 
Lr 
ф
 Lm
b o ‘lgani uchun,
j y „ , y > - = o
(
2
.
21
)
ortogonallik sharti kelib chiqadi.
Ikkinchi tom onidan diskret spektrga tegishli funksiyalar har doim 
kvadratik integrallanuvchidir, shu tufayli ulam i 1 ga normallashtirish 
mumkin, y a ’ni
lV n ¥ n d x = l .
(2.22)
Oxirgi tenglikni (2.21) tenglik bilan birlashtirib yozish mumkin.
66

---

j ¥ m¥„dx =