Nazariy fizika kursi

sin qR
~qR~'
•c o s 
qR
va
da = \ m f dQ.
= 
|
dQ
4. 
Masala. 
Oldingi masaladagi sochilishning differensial 
kes
imi
natijasidan foydalanib potensial o‘ra orqali sodir boladigan 
sochilishning to ‘liq differensial kesimi aniqlansin. Quyidagi ikkita 
chekli hollar ko‘rilsin:
a) 
k R » l ,
ya’ni tezligi katta bo‘lgan zarrachalaming sochilishini;
b) 
k R «
1, y a’ni tezligi kichik b oig an zarrachalaming sochilishini.
Yechilish. 
M a’lumki 
da
= 
ч
Я
dQ
Bunda 
q = 2 k s i n -
Va 
d£l = 2 л svnddQ .
Demak,
cr = 8 srR2
‘ m l u j R 2
f ( sin qR — qR cos qR
f
q R7,
sin 
ffde.
Beiilgan integralni bolaklab integrallash natijasida va integralning 
chegaralarini hisobga olganda quyidagi natija olinadi:
a
=-
2n
'
m\U„\R2 
Y
j 
1
sin 4 kR
sin2 2kR
k 2
I 
*
J
_ 
(2 k R f + (2 k R f
( 2 k R f
Endi xususiy hollami ko‘rilsa. 
a) 
k R » l
bolganda
a
=
2
k
mjUujR
h2
b) 
k R «
1 bo'lganda esa
^ _ 16яг nilmPo\R2

---

maydonidagi 
sochilishning 
amplitudasi 
va 
sochilishning to ‘liq 
differensial kesimi aniqlansin.
Yechish. 
M a’lumki,
2 
ш r
f ( 0 ) =
-----
j
I 
U
(r
)r
sin 
qrdr.
qb J
Bu formulaga Yukava potensialining ifodasi qo‘yilsa
2 
т а '
5. 
Masala. 
Bom yaqinlashishida Yukava potensiali 
U ( r )
= —e “
/ ( 0 ) = —
e “ s i n
qrdr
bo‘ladi. 
Endi 
singr
2i
formuladan 
va 
o‘zgaruvchilarni
almashtirish metodidan foydalanib integrallash natijasida
/ ___ \
)
/(0 ) = -2 a
am a
H 1
1 
+ a~q~
ni olinadi. U holda
d o = \f(9 i\ d£l = 4a~
ama
h1 J
(l 
+ a2q2)2
va sochilishning to ‘liq differensial kesimi quyidagiga teng bo‘ladi:
о
=
4n
2 
a m a
b1
2
\
1
l + 4a"k

---

X I bob
RELYATIVISTIK KVANT MEXANIKASI
11.1 Shr edingerning relyativistik tenglamasi
Shredinger tenglamasi tezliklari yorugiik tezligidan juda kichik 
bo‘lgan zarrachalargagina 
qo‘llanishi mumkin. Bu tenglamaning 
tezliklari yomg‘lik tezligiga yaqin bo‘lgan zarrachalarga qo‘llanishi 
mumkin bo‘lgan umumlashtiriigan formasi bir necha tadqiqotchilar, 
jumladan 
Shredingerning o ‘zi tomonidan norelyativistik kvant 
mexanikasining yaratilishi bilan deyarli bir vaqtda taklif qilingan edi. 
Ushbu masalani ко‘rib chiqishdan oldin Shredinger tenglamasini 
olishning formal yo‘li eslatib o ‘tiladi.
Berilgan 
U(r)
potensialda 
harakat 
qilayotgan 
zarrachaning 
energiyasi quyidagiga tengdir:
2
E = ~
 + U(
r). 
(11.1)
2m
Shu ifodada
E ^ m — , p = } - i h V
(11.2)
almashtirish bajarilsa va hosil bo'lgan operator bilan 
t/(r,/)to ‘lqin 
funksiyasiga ta’sir qilinsa, Shredinger tenglamasi kelib chiqadi:
гй 
=
V 
V(r, 
t) + U
(r)^(r, 
t).
(11.3)
at 
2m
Agar energiya uchun quyidagi relyativistik ifodadan
£ 2 = p V + « V
(11.4)
foydalanilsa hamda(11.2) almashtirish bajarilsa, quyidagi relyativistik 
tenglama olinadi:
f
Л? 
9 2 \
V2-
c~
Э2 
m~c~
h2
Mazkur tenglama 1926-yilda mustaqil ravishda bir necha 
tadqiqotchilar - O.Kleyn, V. Gordon, B.Fok va E. Shredingerlar 
tomonidan olingan va fizikada Kleyn - Gordon tenglamasi nomini 
olgan. 
Bu 
tenglamani 
olishda 
faqatgina 
(11.4) 
relyativistik
314

---

munosabatdan 
foydalanganimiz 
uchun 
tenglama 
relyativistik 
invariantdir, ya’ni, nisbiylik nazariyasining almashtirishlariga (Lorens 
almashtirishlariga) nisbatan invariantdir. Shredinger tenglamasidan 
farqli ravishda Kleyn - Gordon tenglamasi fazoviy va vaqt 
koordinatlariga nisbatan simmetrikdir.
Kleyn - Gordon tenglamasidan xuddi Shredinger tenglamasidan 
olganimizdek uzluksizlik tenglamasini olish mumkin:
Buning uchun extimollik zichligi