|
Сложение и вычитание
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему
знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:
+ = + =
НОК
знаменателей (здесь и ) равно . Приводим дробь к знаменателю , для
этого числитель и знаменатель надо умножить на .
Получилось . Приводим дробь к тому же знаменателю, для этого числитель и
знаменатель надо умножить на . Получилось .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а
затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:
— = — =
НОК
знаменателей (здесь и ) равно . Приводим дробь к знаменателю , для
этого надо числитель и знаменатель умножить на . Получаем .
Умножение и деление
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и
знаменатели:
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить
на число, а знаменатель оставить тем же:
В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть
взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую
дробь на дробь, обратную второй:
Например:
Возведение в степень и извлечение корня
Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель
в эту же степень:
Пример:
Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь соответствующий корень из
числителя и знаменателя:
Пример:
Преобразование между разными форматами записи
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить
числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных
знаков, но может быть и бесконечной
периодической дробью
. Примеры:
— бесконечно повторяющийся
период принято записывать в круглых скобках.
Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в
дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального
числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату
приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена
как обыкновенная. Исключением являются
периодические десятичные дроби
, для
которых такое представление всегда возможно
[3]
.
Пример (см. также
Преобразование периодической десятичной дроби в
обыкновенную
). Преобразуем периодическую дробь
в обыкновенную дробь.
Обозначим
, тогда
откуда:
или:
В
итоге получаем:
Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от
лат.
fractura,
который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же
значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили
греческие
и
индийские
математики. Через арабов термин, в переводе на латинский,
перешёл в Европу, он упоминается уже у
Фибоначчи
(1202 год). Слова числитель и
знаменатель ввёл в оборот греческий математик
Максим Плануд
.
История и этимология термина
Дроби вычислялись ещё в
Древнем Египте
. До наших дней сохранились
математические источники о
египетских дробях
:
Математический папирус Ринда
(ок.
1650 год до н. э.)
[4]
,
Египетский математический кожаный свиток
(XVII век до н. э.)
[5]
,
Московский математический папирус
(ок. 1850 год до н. э.),
Деревянная табличка из
Ахмима
(ок. 1950 год до н. э.)
[6]
.
В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «
Математика в девяти книгах
» (X
—II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан
Цаном .
Десятичные дроби
впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э.
при вычислениях на счётной доске (
суаньпань
). В письменных источниках
десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не
позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила
традиционную
[7]
. Персидский математик и астроном
Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши
(1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем
десятичных дробей, хотя они встречались в трудах
Ал-Уклидиси
, жившего на пять
веков раньше
[8]
.
Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а
в астрономии — с
шестидесятеричными
. Современное обозначение обыкновенных
дробей происходит из
Древней Индии
— вначале его
позаимствовали арабы
, а затем,
в
XII
-
XVI веках
, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта:
числа
записывались таким способом:
Использование черты дроби стало
постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который
использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские
цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец,
путешественник, сын городского писаря —
Фибоначчи
(Леонардо Пизанский)
[9]
.
Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке
(
Тарталья
,
Клавиус
).
В Европе первые десятичные дроби ввёл
Иммануил Бонфис
около 1350 года, но
широкое распространение они получили только после появления сочинения
Симона
Стевина
«Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными
способами: например, число 42,53 записывалось как
или
42
⓪
5
①
3
②
,
где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так
далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с
XVII века
[9]
.
На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в
XVII веке
— дроби назывались ломаными числами
[9]
. Термин дробь, как аналог
латинского fractura, используется в «Арифметике»
Магницкого
(1703) как для
обыкновенных, так и для десятичных дробей.
Кольцо частных
Рациональная функция
— дробь, составленная из
многочленов
.
В
Викисловаре
есть статья
«
д робь
»
Дроби в Юникоде
Цепная дробь
Египетские дроби
1.
Математическая энциклопедия, 1982
.
2.
Справочник ПараТайп
.
3.
Цыпкин, 1983
.
4.
The Rhind Mathematical Papyrus
.
5.
Clagett, 1999
.
.
Simpson, 1961
.
7.
Martzloff, 1997
.
.
Berggren, 2007
.
9.
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд, 1997
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
